להפריד ולפשט בבקשה לעזור?

תשובה:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) # #

הסבר:

אקספרס # x ^ tanx # כוח של e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

באמצעות כלל השרשרת, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) (du) / dx), # איפה # u = lnxtanx # ו # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) # #

אקספרס # e ^ (lnxtanx) # ככוח של x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / dx (lnxtanx) #

השתמש בכללי המוצר, # (dx) (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / dx #, איפה # u = lnx # ו # v = tanx #

# dn (dx) (dn) (dx) (tanx) + d / dx (lnxtanx) x ^ tanx #

נגזרת של # tanx # J # sec ^ 2x #

# = x ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (dx (dx) (lnx)) tanx) #

נגזרת של # lnx # J # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

תשובה:

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

הסבר:

אנו נשתמש בידול לוגריתמי - כלומר, ניקח את היומן הטבעי של שני הצדדים ונבדיל בין WER. #איקס#

בהתחשב you # y = x ^ tan (x) #

קח את יומן טבעי (# ln #) של שני הצדדים:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

החלת כלל הכוח של יומן טבעי #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

לבדל את שני הצדדים במפורש w.r.t #איקס#

# 1 / y * dy / dx = צבע (כחול) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # # (ראה עבודה למטה)

כדי להבדיל את RHS, נצטרך להשתמש בכללי המוצר!

יש לנו # d / dx tan (x) * ln (x) #

תן #f (x) = tan (x) # ו #g (x) = ln (x) #

לפיכך, #f '(x) = sec ^ 2 (x) # ו #g '(x) = 1 / x #

לפי כלל המוצר: # x (x) x (f) x (x) x (x)

תחליף אנחנו מקבלים:

# x) x (x) x (x) x (x / x (x)

מפשט …

# d / dx tan (x) ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

נחזור למה שהיה לנו בעבר:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

אנחנו רוצים לבודד # dy / dx # אז אנחנו מכפילים את שני הצדדים על ידי # y #

# cancelcolor (אדום) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * צבע (אדום) y #

# dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * צבע (אדום) y #

אנחנו רוצים לכתוב הכל במונחים של #איקס# אבל יש לנו את זה #color (אדום) y # בדרך. אתה יכול לזכור את זה #color (אדום) y # ניתנת לנו כבר בהתחלה. #color (אדום) (y = x ^ tan (x)) #

#): dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #