איך אתה מוצא int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx באמצעות שברים חלקי?

תשובה:

אתה מנסה לפצל את הפונקציה הרציונלית לסכום שיהיה ממש קל לשלב.

הסבר:

ראשית כל: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

פירוק חלקיק חלקי מאפשר לך לעשות זאת:

# (x + 1) / x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / x (x-1) (x 1)) = 1 / (x (x-1)) = / x + b / (x-1) # עם # a, b ב RR # כי אתה צריך למצוא.

כדי למצוא אותם, אתה צריך להכפיל את שני הצדדים על ידי אחד הפולינומים בצד שמאל של השוויון. אני מראה לך דוגמה אחת, המקדם השני נמצא באותה דרך.

אנחנו הולכים למצוא # a #: אנחנו צריכים להכפיל את הכל על ידי #איקס# על מנת להפוך את המקדם השני להיעלם.

# (X-1) = a / x + b (x-1) iff 1 / (x-1) = a (bx) / x-1 #.

#x = 0 iff -1 = a #

אתה עושה את אותו הדבר כדי למצוא # b # (אתה מכפיל את הכל על ידי # (x-1) # אז אתה בוחר #x = 1 #), ואתה מגלה את זה #b = 1 #.

לכן # (x + 1) / x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, מה שמרמז על כך (x + 1) / x (x + 2 - 1)) dx = int (1 / x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs x-1) - lnabsx #