איך אתה מוצא int 3 / ((1 + x) (1 - 2x) dx באמצעות שברים חלקי?

תשובה:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

הסבר:

תן # 3 / (1 + x) * (1 - 2x) # # להיות = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x) #

הרחבת יד ימין, אנחנו מקבלים

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

המשוואה, אנחנו מקבלים

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / (1 + x) * (1 - 2x) # #

כלומר #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

או #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

או # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

להשוות את מקדם של x ל 0 ו שווה קבועים, אנחנו מקבלים

#A + B = 3 # ו

# -2A + B = 0 #

פתרון עבור A & B, אנחנו מקבלים

#A = 1 ו- B = 2 #

החלפת אינטגרציה, אנחנו מקבלים

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #