מהירות הפונקציה היא V (t) = -t ^ 2 + 3t - 2 עבור חלקיק הנע לאורך קו. מה הוא עקירה (מרחק נטו מכוסה) של החלקיקים במהלך מרווח הזמן [-3,6]?

תשובה:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103.5 #

הסבר:

השטח תחת עקומת מהירות שווה למרחק מכוסה.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# # - int _ (- 3) ^ 6-t ^ 2 + 3t-2 צבע (לבן) ("X") dt #

# ~ - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (כחול) ((- 3)) ^ צבע (אדום) (6) #

# (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (צבע (כחול) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

תשובה:

השאלה המקורית היא קצת מבלבלת כפי שהוא מרמז כי עקירה המרחק הוא אותו דבר, אשר הוא לא.

יש לי להגדיר את האינטגרציה הנדרשת עבור כל מקרה אחר להלן.

הסבר:

מרחק כולל (כמות סקלרית המייצגת אורך נתיב בפועל) ניתנת על ידי סכום האינטגרלים החלקיים

# d = + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

סך הכל עקירה (כמות וקטורית המייצגת קו ישר משורטט מתחילתו ועד סופו של תנועה) ניתנת בגודלו על ידי האינטגרל הבא

# t-2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2)) dt #

הגרף של פונקציית המהירות עם הזמן מבהיר מדוע אינטגרלים אלה צריכים להיות מוגדרים עבור כללי וקטור להיות לציית ההגדרות להיות מרוצים.

גרף {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}