מהי התחזית של (4 i + 4 j + 2 k) אל (i + j -7k)?

תשובה:

ההקרנה הווקטורית היא #< -2/17,-2/17,14/17 >#, היטל הסקלרי הוא # (- 2sqrt (51)) / 17 #. ראה למטה.

הסבר:

בהתחשב # veca = (4i + 4j + 2k) # ו # vecb = (i + j-7k) #, אנחנו יכולים למצוא #proj_ (vecb) veca #, ה וקטור הקרנה של # veca # אל # vecb # תוך שימוש בנוסחה הבאה:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

כלומר, את המוצר נקודה של שני וקטורים מחולק לפי גודל # vecb #, כפול # vecb # מחולק לפי גודל. הכמות השנייה היא כמות וקטורית, כפי שאנו מחלקים וקטור על ידי סקלר. שים לב שאנחנו מחלקים # vecb # על פי גודלה כדי להשיג וקטור יחידה (וקטור עם גודל של #1#).ייתכן שתבחין כי הכמות הראשונה היא סקלרית, כפי שאנו יודעים כי כאשר אנו לוקחים את המוצר נקודה של שני וקטורים, התוצאה היא סקלרית.

לכן, סקלר הקרנה של # a # אל # b # J #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #, נכתב גם # proj_ (vecb) veca | #.

אנחנו יכולים להתחיל על ידי לקיחת מוצר נקודה של שני וקטורים, אשר ניתן לכתוב כמו # veca = <4,4,2> # ו # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7>

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

אז נוכל למצוא את גודל # vecb # על ידי לקיחת שורש הריבוע של סכום הריבועים של כל אחד מהרכיבים.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) # #

# | vecb | = sqrt (1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) # #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

ועכשיו יש לנו כל מה שאנחנו צריכים כדי למצוא את היטל וקטור של # veca # אל # vecb #.

# (1, 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

אתה יכול להפיץ את מקדם לכל רכיב של וקטור לכתוב כמו:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

היטל סקלרי של # veca # אל # vecb # הוא רק המחצית הראשונה של הנוסחה, שם #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. לכן, היטל הסקלר הוא # -6 / sqrt (51) #, אשר לא לפשט עוד יותר, מלבד כדי לתרץ את המכנה אם תרצה, נתינה # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2qqrt (51)) / 17 #

מקווה שזה עוזר!