מהו המרכז של משולש עם פינות ב (9, 5), (3, 8), ו (5, 6)?

תשובה:

שלבים: (1) למצוא את המדרונות של 2 הצדדים, (2) למצוא את המדרונות של הקווים בניצב לאותם צדדים, (3) למצוא את המשוואות של הקווים עם אלה המדרונות שעוברים דרך הקודקודים הנגדיים, (4) למצוא את נקודה שבה קווים אלה מצטלבים, המהווה את המרכז, במקרה זה #(6.67, 2.67)#.

הסבר:

כדי למצוא את המפרש של משולש אנו מוצאים את המדרונות (gradients) של שני הצדדים שלה, ולאחר מכן את המשוואות של הקווים בניצב לאותם צדדים.

אנו יכולים להשתמש במדרונות אלה בתוספת הקואורדינטות של הנקודה מול הצד הרלוונטי כדי למצוא את המשוואות של הקווים הניצבים לצדדים העוברים בזווית ההפוכה: אלה נקראים 'גבהים' עבור הצדדים.

כאשר הגובה של שני הצדדים לחצות הוא אורתוסנטר (גובה עבור הצד השלישי היה גם לעבור את הנקודה הזאת).

הבה נתאר את הנקודות שלנו כדי להקל על הפניה אליהם:

נקודה A = #(9, 5)#

נקודה ב = #(3, 8)#

נקודה C = #(5, 6)#

כדי למצוא את המדרון, השתמש בנוסחה:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

# (_) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

אנחנו לא רוצים את המדרונות האלה, אבל את המדרונות של הקווים אנכית (בזווית ישרה) אליהם. הקו ניצב לקו עם מדרון #M# יש מדרון # -1 / m #, כך הקו בניצב # AB # יש מדרון #-2# ואת הקו בניצב # BC # יש מדרון #1#.

עכשיו אנו יכולים למצוא את המשוואות של גבהים של נקודת C (מול AB) ונקודה A (מול BC) בהתאמה על ידי החלפת הקואורדינטות של נקודות אלה לתוך המשוואה

# y = mx + c #

עבור נקודת C, הגובה הוא:

# 6 = -2 (5) + c # שנותן # c = 6 + 10 = 16 # לכן #y = -2x + 16 #

באופן דומה, עבור נקודה A:

# 5 = 1 (9) + c # שנותן # c = 5-9 = -4 # אז המשוואה היא:

# y = x-4 #

כדי למצוא את האורטורנטר, אנחנו פשוט צריכים למצוא את הנקודה שבה שתי שורות אלה לחצות. אנחנו יכולים להשוות אותם זה לזה:

# -2x + 16 = x-4 #

סידור מחדש, # 3x = 20 to x ~ ~ 6.67 #

להחליף את המשוואה או למצוא את # y # ערך, שהוא #2.67#.

לכן האורטוצנטר הוא העיקר #(6.67, 2.67)#.