סכום הריבוע של שלושה מספרים שלמים הוא 324. איך מוצאים את המספרים השלמים?

תשובה:

הפתרון היחיד עם מספרים שלמים וחיוביים מובהקים הוא #(2, 8, 16)#

מערכת הפתרונות המלאה היא:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

הסבר:

אנחנו יכולים להציל את עצמנו קצת מאמץ על ידי בהתחשב מה טופס ריבועים לקחת.

אם # n # הוא מספר שלם מוזר אז #n = 2k + 1 # עבור מספר שלם # k # you

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

שימו לב כי זה מספר שלם של הטופס # 4p + 1 #.

אז אם אתה מוסיף את הריבועים של שני מספרים שלמים מוזר, אז אתה תמיד מקבל מספר שלם של הטופס # 4k + 2 # עבור מספר שלם # k #.

שים לב ש #324 = 4*81# הוא של הטופס # 4k #, לא # 4k + 2 #.

לפיכך אנו יכולים להסיק כי שלושת המספרים השלמים חייב להיות כל אפילו.

מאז יש מספר סופי של פתרונות מספרים שלמים # n ^ 2> = 0 # עבור מספר שלם # n #.

שקול פתרונות של מספרים שלמים שאינם שליליים. אנחנו יכולים להוסיף וריאנטים מעורבים שלמים שליליים בסוף.

נניח את המספר השלם הגדול ביותר # n #, לאחר מכן:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

לכן:

# 12 <= n <= 18 #

זה גורם סכומים אפשריים של ריבועים של שני מספרים שלמים אחרים:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

עבור כל אחד מהערכים האלה # k #, נניח את המספר השלם הנותר ביותר הוא #M#. לאחר מכן:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

ואנו דורשים # k-m ^ 2 # להיות ריבוע מושלם.

לפיכך אנו מוצאים פתרונות:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

אז הפתרון היחיד עם מספרים שלמים וחיוביים מובהקים הוא #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

קל להראות זאת # x, y # ו # z # חייב להיות אפילו בגלל ביצוע # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # ו # z = 2m_z # יש לנו

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # או

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # וזה אבסורד.

אז נשקול מעתה ואילך

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

עכשיו שוקלים את הזהות

# (+) 2 (m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

עם # l, m, n # מספרים שלמים וחיוביים שרירותיים

# (m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

יש לנו

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # או פתרון עבור # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

אז עבור היתכנות אנחנו צריכים

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # או

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

כך עבור # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # תהיה לנו

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # כך שניתן # q # הם

#q_f = {80,72,56,32} # כי #q equiv 0 mod 4 #

אז אנחנו צריכים למצוא

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # או

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

כאן כפי שאנו יכולים בקלות לאמת, הפתרון היחיד הוא

# l_1 = 2, m_1 = 4 # כי

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = סרגל q_1 #

וכתוצאה מכך # n_1 = {4,5} #

ואת תחליף לתוך 1 אנחנו מקבלים

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8): #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8): #

לתת את הפתרון

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16): #