מהו האינטגרל של dx tan ^ 4x tan?

תשובה:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

הסבר:

פתרון נוגדנים טריג בדרך כלל כרוך לשבור את אינטגרל למטה ליישם פיתגורס זהויות, אותם באמצעות # u #-החלפה. זה בדיוק מה שנעשה כאן.

התחל על ידי כתיבה מחדש # inttan ^ 4xdx # כפי ש # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. עכשיו אנחנו יכולים ליישם את זהות פיתגורס # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, או # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

הפצת # tan ^ 2x #:

#color (לבן) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

החלת כלל הסף:

#color (לבן) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

אנו נבדוק אינטגרלים אלה אחד אחד.

אינטגרל ראשון

זה נפתר באמצעות # u #-החלפה:

תן # u = tanx #

# (du) / dx = sec ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

החלת החלפה, #color (לבן) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (לבן) (XX) = u ^ 3/3 + C #

כי # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

אינטגרל שני

כי אנחנו לא באמת יודעים מה # inttan ^ 2xdx # היא רק מסתכל על זה, נסה להחיל את # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # שוב זהות:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

באמצעות כלל הסכום, האינטגרל מסתכם ב:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

הראשון שבהם, # intsec ^ 2xdx #, זה רק # tanx + C #. השני, מה שנקרא "אינטגרל מושלם", הוא פשוט # x + C #. לשים את כל זה ביחד, אנחנו יכולים לומר:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

ובגלל # C + C # הוא רק עוד שרירותי, אנחנו יכולים לשלב אותו קבוע קבוע # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

שילוב שני התוצאות, יש לנו:

# ttx-x + C = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C # = # xxxx = intx = 2xtx = 2xdx-inttan = 2xxx = (tan ^ 3x)

שוב, כי # C + C # הוא קבוע, אנחנו יכולים להצטרף אליהם לאחד # C #.