מהו האינטגרל של (ln (xe ^ x)) / x?

תשובה:

# int # (x) x / x + x + C #

הסבר:

אנו מקבלים:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

שימוש #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

שימוש #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

שימוש #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

פיצול השבר (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

הפרדת האינטגרלים המסוכמים:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

האינטגרל השני הוא פשוט #x + C #, איפה # C # הוא קבוע שרירותי. אינטגרל הראשון, אנו משתמשים # u #-החלפה:

תן #u equiv ln (x) #, ומכאן #du = 1 / x dx #

שימוש # u #-החלפה:

# = int udu + x + C #

שילוב (קבוע שרירותי # C # יכול לספוג את קבוע שרירותי של אינטגרל בלתי מוגדר הראשון:

# = u ^ 2/2 + x + C #

תחליף בחזרה במונחים של #איקס#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

תשובה:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

הסבר:

אנו מתחילים באמצעות הזהות הלוגריתמית הבאה:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

החלת זה על אינטגרל, אנחנו מקבלים:

#int (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

(x) x x x x x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

כדי להעריך את האינטגרל הנותר, אנו משתמשים באינטגרציה על ידי חלקים:

(x) x (x) x (x) x (x) dx = f (x) g (x) -int f '(x) g (x) dx #

אני אתן #f (x) = ln (x) # ו #g '(x) = 1 / x #. לאחר מכן נוכל לחשב כי:

#f '(x) = 1 / x # ו #g (x) = ln (x) #

לאחר מכן נוכל ליישם את האינטגרציה על ידי חלקי הנוסחה כדי לקבל:

#int (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

מכיוון שיש לנו את האינטגרל משני צדי השלט השווה, נוכל לפתור אותו כמו משוואה:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

מחברים בחזרה את הביטוי המקורי, אנחנו מקבלים את התשובה הסופית שלנו:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #