מהי הנגזרת של y = sec ^ 2 (x) + tan ^ 2 (x)?

נגזרת של # y = sec ^ 2x + tan ^ 2x # J

# 4sec ^ 2xtanx #

תהליך:

מכיוון הנגזרת של סכום שווה לסכום של נגזרים, אנחנו יכולים רק לגזור # sec ^ 2x # ו # tan ^ 2x # בנפרד ולהוסיף אותם יחד.

עבור נגזרת של # sec ^ 2x #, עלינו ליישם את כלל שרשרת:

#F (x) = f (g (x)) #

#F '(x) = f' (g (x)) g (x) #,

עם הפונקציה החיצונית להיות # x ^ 2 #, ואת הפונקציה הפנימית להיות # secx #. עכשיו אנו מוצאים את הנגזרת של הפונקציה החיצונית תוך שמירה על הפונקציה הפנימית זהה, ולאחר מכן להכפיל אותו על ידי נגזרת של הפונקציה הפנימית. זה נותן לנו:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = secx #

#g '(x) = secxtanx #

חיבור אלה לתוך הנוסחה שלנו שרשרת שרשרת, יש לנו:

#F '(x) = f' (g (x)) g (x) #,

#F '(x) = 2 (secx) secxtanx = 2sec ^ 2xtanx #

עכשיו אנחנו עוקבים אחר אותו תהליך # tan ^ 2x # טווח, החלפת # secx # עם # tanx #, מסתיים עם:

#f (x) = x ^ 2 #

#f '(x) = 2x #

#g (x) = tanx #

#g '(x) = sec ^ 2x #

#F '(x) = f' (g (x)) g (x) #,

#F '(x) = 2 (tanx) sec ^ 2x = 2sec ^ 2xtanx #

הוספת מונחים אלה יחד, יש לנו את התשובה הסופית שלנו:

# 2sec ^ 2xtanx + 2sec ^ 2xtanx #

= # 4sec ^ 2xtanx #