תן p להיות מטריצה לא יחיד 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O מציין את מטריקס ריק), אז p ^ -1 הוא?

תשובה:

התשובה היא # = - (+ p + ……… p ^ (n-1)) #

הסבר:

אנחנו יודעים את זה

# p ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

הכפל את שני הצדדים על ידי # p ^ -1 #

# p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# p ^ -1 + (p ^ -1 p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1 p * p ^ (n-1)) = O #

# p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

לכן, # p ^ -1 = - (+ p + ……… p ^ (n-1)) #

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # אבל # p # על ידי היפותזה היא לא יחיד ואז קיים # p ^ -1 # לכן

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p = -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

ולבסוף

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

כמו כן ניתן לפתור כמו

# p ^ -1 = p (sum = k = 0) (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #