Z1 + z2 = z1 + z2 אם ורק אם arg (z1) = arg (z2), כאשר z1 ו- z2 הם מספרים מורכבים. איך אנא הסבר!

תשובה:

נא להתייחס אל דיון בתוך ה הסבר.

הסבר:

תן, # | z_j | = r_j; r_j gt 0 ו- arg (z_j) = theta_j ב- (-pi, pi); (j = 1,2) # #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2 #

ברור, # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) #

נזכיר כי, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + חטא ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin 2 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (כוכב ^ 1) #.

# "עכשיו בהתחשב בזה", | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 | | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, ie., #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (כוכב ^ 2) # #

מ # (כוכב ^ 1) ו (כוכב ^ 2) # אנחנו מקבלים, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2 #

# "ביטול" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 cos0 # #

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k ב- ZZ #

# "אבל", theta_1, theta_2 ב (pi, pi), theta_1-theta_2 = 0, או, #

# theta_1 = theta_2, "נותן", arg (z_1) = arg (z_2), # כפי ש הרצוי!

לפיכך, הראינו כי, # | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2) # #

ה לשוחח ניתן להוכיח בקווים דומים.

תהנה מתמטיקה.!