כיצד אתה מאמת את הזהות הבאה?

תשובה:

השתמש כמה זהויות טריג והרבה לפשט. ראה למטה.

הסבר:

כאשר מתמודדים עם דברים כמו # cos3x #, זה עוזר לפשט אותו פונקציות trigonometric של יחידה #איקס#; כלומר, משהו כזה # cosx # או # cos ^ 3x #. אנו יכולים להשתמש כלל סכום עבור cosine כדי להשיג זאת:

#cos (אלפא + ביתא) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

אז, מאז # cos3x = cos (2x + x) #, יש לנו:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin = 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

עכשיו אנחנו יכולים להחליף # cos3x # עם הביטוי לעיל:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

אנחנו יכולים לפצל את החלק הזה גדול יותר לשני שברים קטנים יותר:

# (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - (2sinxcosx) (sinx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

שים לב איך לבטל את cosines:

# (cosx) (cxx)) (sinx)) / canccosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin = 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

כעת הוסף a # sin = 2x-sin ^ 2x # לתוך הצד השמאלי של המשוואה (וזה אותו דבר כמו הוספת #0#). ההגיון מאחורי זה יתבהר בעוד רגע:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin = 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

סדר מחדש את התנאים:

# cos ^ 2x + חטא ^ 2x- (חטא + 2x + חטא ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

השתמש בזהות פיתגורס # חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # ולשלב את # sin = 2x #s בסוגריים:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

אתה יכול לראות את הטריק הקטן שלנו של הוספת # sin = 2x-sin ^ 2x # איפשר לנו להשתמש בזהות פיתגורס ולאסוף את # sin = 2x # מונחים.

ווילה:

# 1-sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.