מה הוא int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

תשובה:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + ארקטן (sqrt3) # #

הסבר:

הסבר זה הוא קצת ארוך, אבל לא הצלחתי למצוא דרך מהירה יותר לעשות את זה …

אינטגרל הוא יישום ליניארי, כך שאתה יכול כבר לפצל את הפונקציה תחת סימן אינטגרלי.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 המושגים הראשונים הם פונקציות פולינום, ולכן הם קל לשלב. אני מראה לך איך לעשות את זה # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # לכן # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. אתה עושה את אותו הדבר בדיוק עבור # x ^ 3 #, התוצאה היא #255/4#.

מציאת #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # הוא קצת ארוך ומסובך. ראשית אתה מכפיל את השבר על ידי #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # # ואז אתה משנה את המשתנה: נניח #u = sqrt (x-1) #. לכן # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # ועכשיו אתה צריך למצוא # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. כדי למצוא אותו, אתה צריך את הפירוק החלקי חלקי של הפונקציה הרציונלית # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x + 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # עם # a, b, c, d ב RR #. אחרי חצץ, אנו מגלים את זה # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, מה שאומר ש # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) # #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # הוא ידוע, זה #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

סוף כל סוף, (2) (1 + u + 2)) = ארקטן (u) - ארקטן (u) / 2 - u / (1 + u ^ 2) #

אתה מחליף # u # על ידי הביטוי המקורי עם #איקס# יש #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, שהוא #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

אז סוף סוף, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #