מהי משמעותן של קבוצות המספרים השונות, כגון אמת, רציונליות, לא רציונליות וכו '?

תשובה:

כמה מחשבות …

הסבר:

יש הרבה יותר מדי שאפשר לומר כאן, אבל הנה כמה מחשבות …

מהו מספר?

אם אנחנו רוצים להיות מסוגלים לחשוב על מספרים ועל הדברים שהם מודדים או לספק את השפה להביע אז אנחנו צריכים יסודות איתנים.

אנו יכולים להתחיל ממספרים שלמים: #0, 1, 2, 3, 4,…#

כאשר אנו רוצים להביע דברים נוספים, אנו נתקלים גם במספרים שליליים, לכן אנו מרחיבים את רעיון המספרים שלנו למספרים השלמים: #0, +-1, +-2, +-3, +-4,…#

כאשר אנחנו רוצים לחלק כל מספר על ידי כל מספר אפס אז אנחנו מרחיבים את הרעיון של מספרים למספרים רציונליים # p / q # איפה #p, q # הם מספרים שלמים ו #q! = 0 #.

ואז אנו נתקלים באי-נוחות כמו העובדה שלאלכסון של ריבוע בעל צדדים רציונליים יש אורך שאיננו יכולים להביע כמספר רציונלי. כדי לתקן את זה אנחנו צריכים להציג שורשים מרובעים - סוג של מספר לא הגיוני. שורשי ריבוע מאפשרים לנו לפתור משוואות כמו:

# x ^ 2 + 4x + 1 = 0 #

לעתים קרובות כאשר אנו מתמודדים עם מספרים לא הגיוני כמו #sqrt (2) # אנחנו גם להשאיר אותם בצורה אלגברית או להשתמש קירוזים עשרוניים כמו #sqrt (2) ~ 1.414213562 #.

שים לב כי המספרים דיברנו על עד כה יש הסדר הכולל טבעי - אנחנו יכולים למקם אותם על הקו בצורה כזו כי כל שני מספרים ניתן להשוות.

מה עם כל השורה?

זה ידוע בתור קו מספר אמיתי, עם כל נקודה של הקו להיות משויך למספר.

איך נוכל לחשוב על מספרים על הקו הזה בכלל?

אנו יכולים להשתמש בסך ההזמנות, המאפיינים האריתמטיים ואפיון המספרים הריאליים במונחים של גבולות. באופן כללי, החשיבה על המספרים הריאליים כרוכה יותר בחשיבה מסוג זה.

אז האם מתמטיקה מקבל יותר מסובך כמו שאנחנו הולכים מתוך חשיבה על מספרים טבעיים כדי חשיבה על מספרים אמיתיים? לא, זה שונה - שונה מאוד. לדוגמה, בעיה לא פתורה במתמטיקה היא:

האם יש מספר אינסופי של זוגות ראשוניים - כלומר זוגות מספרים # p # ו # p + 2 # כך ששניהם ראשוניים.

זה נשמע פשוט למדי, אבל על הטוב ביותר שאנחנו יכולים לעשות עד כה היא להראות כי יש מספר אינסופי של זוגות ראשוניים של הטופס # p #, # p + 246 # וגם זה מסובך מאוד.