איך אתה משלב int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx באמצעות החלפת טריגונומטריים?

תשובה:

# (1) (+) + (1) + (+) 1 +) 1 + 1 + 1 + 1) (+ + 1) + + 1) + + 1) + + 1) +

הסבר:

הפתרון הוא קצת ארוך!

מן נתון #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int (1) (sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

שימו לב לכך # i = sqrt (-1) # המספר הדמיוני

הניחו את המספר המורכב לזמן מה והמשיכו לאינטגרל

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

על ידי השלמת הכיכר ועריכת כמה קבוצות:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int + x + 100) -100 + 101)) # dx #

#int 1 / (sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1)) * dx #

תחליף טריגונומטרי ראשון: ##

הזווית החדה # w # עם צד הפוך # = e ^ x + 10 # ואת הצד הסמוך #=1# עם hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) # #

תן # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

ואז

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

האינטגרל הופך

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) # #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (t w-10) #

מ טריגונומטריה #sec w = 1 / cos w # ו #tan w = sin w / cos w #

האינטגרל הופך

#int (1 / cos w * dw) / (w w / cos w-10) ו

#int (ד"ו) / (חטא w-10 cos w) #

תחליף טריגונומטרי שני:

תן # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

וגם # z = tan (w / 2) #

המשולש הימני: הזווית החדה # w / 2 # עם הצד הנגדי # = z #

צד סמוך #=1# ו hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

מ טריגונומטריה: נזכר נוסחאות חצי זווית

#sin (w / 2) = sqrt ((1-c w w / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-c w) / 2 #

פתרון עבור #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # #

גם באמצעות הזהות #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

מכאן נובע

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) # #

האינטגרל הופך

(1 + z ^ 2) (1 + z ^ 2) / (2 w / 10 cos w) = int (2 * dz / 2) / (1 + z ^ 2)) #

פישוט התוצאות האינטגרליות

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

על ידי השלמת הריבוע:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / (z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#) () 1 () 1/5) dz) / (z + 1/10) ^ 2 (sqrt101 / 10) ^ 2) #

השתמש עכשיו את הנוסחה # (/) 2 (a + 2) a = / (2a) * ln (u-a) / (u + a)) + C #

תן # u = z + 1/10 # ו # a = sqrt101 / 10 # כולל חזרה # i = sqrt (-1) #

כתוב את התשובה הסופית באמצעות משתנים מקוריים

# (1) (+) + (1) + (+) 1 +) 1 + 1 + 1 + 1) (+ + 1) + + 1) + + 1) + + 1) +