X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorise)?

תשובה:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x + 2) (אלפא +) (אלפא +) (x + 2) (x ^ 2- (אומגה-אלפא + אומגה ^ 2bar (אלפא)) x + 2) (x ^ 2- (אומגה ^ 2 אלפא + אומגבר) אלפא)) x + 2) #

כמפורט להלן…

הסבר:

אזהרה:

תשובה זו עשויה להיות מתקדמת יותר מכפי שציפית לדעת.

הערות

ניתן לפשט ולמצוא:

# אלפא + בר (אלפא) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + אומגה ^ 2bar (אלפא) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (אלפא) = -1 #

אבל זה לא (עדיין) ברור לי איך הכי טוב לעשות את זה.

תשובה:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

מס '1/2-sqrt (21) / 2 (x + 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2)) x + 2) #

הסבר:

הנה שיטה פשוטה יותר …

בהתחשב you

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

חפש גורם של הטופס:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# x + 2 + + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gaxax + 2) #

# + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (+ + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (אלפא + ביתא + גמא) x + 8 #

מקדמי השווי אנו מוצאים:

# (אלפא + ביתא + גמא = 0), (אלפאבטה + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

לכן #alpha, beta, gamma # הם אפסים של מעוקב:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# + x ^ 3- (אלפא + ביתא + גמא) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

שים לב כי סכום המקדמים של מעוקב זה הוא #0#. זה #1-6+5 = 0#.

לפיכך # x = 1 # הוא אפס # (x-1) # גורם:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

את אפסים של הריבוע הנותרים ניתן למצוא באמצעות הנוסחה ריבועית כמו:

# (= +) = (1 + 2) (1) - (5)) / (2)

לכן # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2}

לכן:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

מס '1/2-sqrt (21) / 2 (x + 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2)) x + 2) #

בונוס

האם ניתן להכליל את הגזירה לעיל?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

(x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gamax + q) # # (x ^ 2 + alphax + q)

# + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + gammaalpha + 3) x ^ 2 + q ^ 2 (אלפא + ביתא + גמא) x + q ^ 3 #

מקדמי מקדם:

# (אלפא + ביתא + גמא = 0), (אלפאבטה + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

לפיכך #alpha, beta, gamma # הם אפסים של:

# x ^ 3-3xx-p #

אז אם אנחנו יכולים למצוא שלושה אפסים אמיתיים של מעוקב זה, אז יש לנו את factisation של sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # לתוך שלוש quadratics עם מקדמים אמיתיים.