איך אתה מוצא את האזור מגודר על ידי עקומות y = -4sin (x) ו y = חטא (2x) על מרווח סגור מ 0 ל pi?

תשובה:

להעריך

# int_0 ^ π | -4sin (x) -סין (2x) | dx #

שטח: #8#

הסבר:

השטח בין שתי פונקציות רציפה #f (x) # ו #g (x) # על #x ב- a, b # J

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

לכן, עלינו למצוא מתי #f (x)> g (x) #

תן את עקומות להיות הפונקציות:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# 4sin (x)> חטא (2x) #

בידיעה ש #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# 4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

מחולק ב #2# וזה חיובי:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

מחולק ב # sinx # מבלי להפוך את השלט, מאז #sinx> 0 # לכל #x ב- (0, π) #

# -2> cos (x) #

וזה בלתי אפשרי, שכן:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

אז את ההצהרה הראשונית לא יכול להיות נכון. לכן, #f (x) <= g (x) # לכל #x ב- 0, π #

האינטגרל מחושב:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (חטא (2x) - (- 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ π (חטא (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# 2/2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#