עוד על מכניקה?

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

אנו נשתמש במה שמכונה אוילר לגראנז '

# (d / dt) (partL) / (נקודה חלקית q_i)) - (L חלקי) / (q_i חלקית) = Q_i #

איפה #L = T-V #. בתרגיל זה יש לנו # V = 0 # לכן #L = T #

מתקשר # x_a # מרכז קואורדינטות הצילינדר השמאלי # x_b # את אחד rigth, יש לנו

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

כאן # sinalpha = R / Lsintheta # כך להחליף עבור # אלפא #

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 חטא ^ 2theta #

עכשיו נובעת

# dot x_b = dot x_a + Rsin (theta) נקודה theta - ((R ^ 2 cos (theta) חטא (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta))) dot theta #

אבל

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

כאן # J # הוא מומנטום האינרציה לגבי מרכז ההמונים. כמו כן,

# v_a = נקודה x_a = R נקודה theta #

#omega_a = נקודה theta #

כך, לאחר תחליפים וקריאות #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # יש לנו

# 1 = 2 (J + mR ^ 2) (1 + (1 + חטא (theta) xi (theta)) ^ 2) נקודה theta ^ 2 #

בחרנו # theta # כמו הקואורדינטות הכלליות. אז נצמצם # F # actuating בקואורדינטות #איקס# לכוח מקביל ב # theta #. קואורדינטות אלה מתגלגלות בצורה חכמה ולכן אנו זקוקים לתנופה כללית לגבי נקודת המגע בקומה, כלומר

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

משוואות התנועה מתקבלות לאחר

# (+ + MR ^ 2) ((1 + חטא (thta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + חטא (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1 + 1 + חטא (thta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + חטא (theta)) # עכשיו לפתור עבור #ddot theta #

# (dTottheta = (FR) (1 + חטא (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + חטא (theta) Xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + חטא (theta) xi ((1) (1 + (חטא (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

מצורף שתי מגרשים. המופעים הראשונים # theta # האבולוציה השנייה היא # dottheta #

ערך הפרמטרים:

# R = 0.5, J = 1, m = 1, L = 2 # הכוח המופעל מוצג באדום דהוי.