כיצד לבחור שני מספרים שעבורם סכום השורשים הריבועיים שלהם הוא מינימלי, בידיעה כי המוצר של שני המספרים הוא?

כיצד לבחור שני מספרים שעבורם סכום השורשים הריבועיים שלהם הוא מינימלי, בידיעה כי המוצר של שני המספרים הוא?
Anonim

תשובה:

# x = y = sqrt (a) #

הסבר:

# x * y = a>> x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "מינימלי" #

# "אנחנו יכולים לעבוד עם מכפיל לגראנז 'L:" #

# x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "תשואות נגזרות:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L = y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L = x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(לאחר הכפלת x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# (*) sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "עכשיו אנחנו עדיין צריכים לבדוק x = 0." #

# "זה בלתי אפשרי כמו x * y = 0." #

# "אז יש לנו את הפתרון הייחודי" #

# x = y = sqrt (a) #

תשובה:

אני אנסה לקחת אותך דרך שיטת הפתרון להלן.

הסבר:

מה אנחנו מחפשים?

שני מספרים. בואו לתת להם שמות, #איקס# ו # y #.

קראה שוב את השאלה.

אנחנו רוצים להפוך את סכום השורש הריבועי מינימלי.

זה אומר לנו שני דברים

(1) שני המספרים אינם שליליים (כדי למנוע דמיון)

(2) אנו מעוניינים הערך של # sqrtx + sqrty #

קראה שוב את השאלה.

כמו כן נאמר לנו כי המוצר של #איקס# ו # y # J # a #.

מי בוחר # a #?

באופן כללי, אם תרגיל אומר משהו # a # או # b # או # c #, אנחנו לוקחים את אלה כקבועים שניתנו על ידי מישהו אחר.

אז אולי נאמר לנו "תוצר של #איקס# ו # y # J #11#'

או "תוצר של #איקס# ו # y # J #124#'.

אנחנו צריכים לפתור את כל אלה בבת אחת באומרו # xy = a # עבור קבוע # a #.

אז, אנחנו רוצים לעשות # sqrtx + sqrty # קטנה ככל האפשר שמירה # xy = a # עבור קבוע # a #.

זה נראה כמו בעיה אופטימיזציה וזה אחד. אז אני רוצה פונקציה של משתנה אחד כדי למזער.

# sqrtx + sqrty # יש שני משתנים, #איקס# ו # y #

# xy = a # יש גם שני משתנים, #איקס# ו # y # (זוכרים # a # הוא קבוע)

לכן #y = a / x #

עכשיו אנחנו רוצים למזער:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

מצא את הנגזרת, ולאחר מכן את מספר קריטי (ים) ולבדוק את מספר קריטי (ים). סיים להיות מציאת # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

קריטי # sqrta #

#f '(x) <0 # ל #x <sqrta # ו #f '(x)> 0 # ל #x> sqrta #, לכן #f (sqrta) # הוא מינימום.

#x = sqrta # ו #y = a / x = sqrta #

תשובה:

# 2 root (4) (#) #

הסבר:

אנו יודעים זאת #x_i> 0 # יש לנו

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

לאחר מכן

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # לאחר מכן

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge root 2 (4) (x_1x_2) #

אבל # x_1x_2 = a # לאחר מכן

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #