זה ידוע כי המשוואה bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 יש שורש אמיתי אחד. להוכיח את המשוואה x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 אין שורשים אמיתיים.?

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

השורשים # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # הם

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

השורשים יהיו מקריים אמיתי אם

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

או

# a = b # או #a = 5b #

עכשיו פתרון

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # יש לנו

#x = 1/2 (- + b b² sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

התנאי לשורשים מורכבים הוא

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

ועכשיו #a = b # או #a = 5b # יש לנו

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

לסיכום, אם # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # יש אז שורשים אמיתיים # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # יהיו שורשים מורכבים.

אנו מקבלים כי המשוואה:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

יש שורש אמיתי אחד, ולכן אפליה של משוואה זו היא אפס:

# דלתא = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ ^ 2-6 + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6 + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a # b #, או # a = 5b #

אנו מבקשים להציג את המשוואה:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

אין שורשים אמיתיים. זה ידרוש שלילי שלילי. המפלה עבור משוואה זו היא:

# דלתא = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6 + 5b ^ 2-4 #

ועכשיו הבה נבחן את שני המקרים האפשריים המספקים את המשוואה הראשונה:

תיק 1: # a = b #

# דלתא = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

מקרה 2: # a = 5b #

# דלתא = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

לכן התנאים של המשוואה הראשונה הם כאלה כי המשוואה השנייה תמיד יש שלילי שלילי, ולכן יש שורשים מורכבים (כלומר לא שורשים אמיתיים), QED