איך אתה מוצא z, z ^ 2, z ^ 3, z ^ 4 נתון z = 1/2 (1 + sqrt3i)?

תשובה:

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z + 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = -1 #

# z = 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #

הסבר:

השיטה הקלה ביותר היא להשתמש במשפט דה מוברה. עבור מספר מורכב # z #

# z = r (costheta + isintheta) #

# z ^ n = r ^ n (cosntheta + isinntheta) #

אז אנחנו רוצים להמיר את המספר המורכב שלנו לצורה הקוטבית. המודולוס # r # של מספר מורכב # a + bi # ניתן ע"י

#r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

# 1 = sqr (1/4 + 3/4) = 1 =

המספר המורכב יהיה ברבע הראשון של דיאגרמת ארגנד כך שהטיעון יינתן על ידי:

#theta = tan ^ (- 1) (b / a) #

# (= 1)) (1) (=) (1) (=) (= 1)

#z = cos (pi / 3) + isin (pi / 3) #

# z + 2 = cos (2pi / 3) + isin (2pi / 3) = 1/2 (-1 + sqrt (3) i) #

# z ^ 3 = cos (3pi / 3) + isin (3pi / 3) = -1 #

# z = 4 = cos (4pi / 3) + isin (4pi / 3) = -1/2 (1 + sqrt (3) i) #