מעגל A יש מרכז ב (6, 5) ו שטח של 6 pi. מעגל B יש מרכז ב (12, 7) ו שטח של 48 pi. האם המעגלים חופפים?

תשובה:

מאז

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # ו

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

אנחנו יכולים לעשות משולש אמיתי עם הצדדים בריבוע 48, 6 ו 40, כך מעגלים אלה מצטלבים.

הסבר:

למה זה מיותר #פאי#?

האזור הוא #A = pi r ^ 2 # לכן # r ^ 2 = A / pi # אז במעגל הראשון יש רדיוס # r_1 = sqrt {6} # והשני # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

המרכזים הם #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # מלבד.

אז המעגלים חופפים אם #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

זה כל כך מכוער שאפשר לסלוח לך על שהגעתי למחשבון. אבל זה באמת לא הכרחי. בואו ניקח עיקוף ונראה איך זה נעשה באמצעות Rational Trigonometry. שם אנו עוסקים רק באורכי הריבועים, הנקראים מרובע.

נניח שאנחנו רוצים לבדוק אם שלוש quadrances #א ב ג# הם הריבועים בין שלוש נקודות קוליניאריות, כלומר #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # או #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # או #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. אנחנו נכתוב את זה

# PM sqrt {C} = pm מ"ר {A} pm sq {B} #

ריבוע, #C = A + B pm 2 מ"ר {AB} #

#C - A-B = PM 2 מ"ר {AB} #

שוב, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

מתברר

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

הוא מפלה עבור משולשים. רק הראינו אם #mathcal {A} = 0 # זה אומר שיש לנו משולש מנוון, נוצר משלוש נקודות קוליניאריות. אם #mathcal {A}> 0 # אז יש לנו משולש אמיתי, כל צד פחות מסכום השניים האחרים. אם #mathcal {A} <0 # אין לנו צד המספק את אי-השוויון המשולש, ולפעמים אנחנו מכנים זאת משולש דמיוני.

בואו נחזור לשאלה שלנו חמוש המשולש החדש שלנו מפלה #mathcal {A} #. אם המעגלים מצטלבים אנחנו יכולים לעשות משולש של שני המרכזים ואת צומת, כך הצדדים יהיו אורכים # r_1 #, # r_2 #, ואת המרחק בין המרכזים #(6,5)# ו #(12,7)#. יש לנו

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # אז יש לנו משולש אמיתי, כלומר מעגלים חופפים.

הו כן, עבור כל משולש #mathcal {A} = 16 (text {area}) ^ 2 #

בדוק: Alpha