מעגל A יש מרכז ב (3, 5) ו שטח של 78 pi. מעגל B יש מרכז ב (1, 2) ו שטח של 54 pi. האם המעגלים חופפים?

תשובה:

כן

הסבר:

ראשית, אנחנו צריכים את המרחק בין שני המרכזים, כלומר # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) # #

# 3 = 2 = 4) = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 = 4 =

עכשיו אנחנו צריכים את הסכום של רדיוס, מאז:

#D> (r_1 + r_2); "המעגלים אינם חופפים" #

# D = (r_1 + r_2); "מעגלים פשוט נוגעים" #

#D <(r_1 + r_2); "מעגלים חוצים" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, כך עיגולים לעשות חפיפה.

הוכחה:

גרף {(x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

תשובה:

אלה חופפים אם #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13} # #

אנחנו יכולים לדלג על המחשבון ולבדוק # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # או #4(13)(54) > 11^2# וזה בהחלט, אז כן, חפיפה.

הסבר:

אזור המעגל הוא כמובן #pi r ^ 2 # אז אנחנו מחלקים את מיותר #פאי#s.

יש לנו רדיוס בריבוע

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

ואת המרחק בריבוע בין המרכזים

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

בעיקרון אנחנו רוצים לדעת אם # r_1 + r_2 ge #, כלומר אם אנחנו יכולים לעשות משולש מתוך שני רדיוס ואת קטע בין המרכזים.

אורכי בריבוע הם כל מספרים שלמים נחמד וזה די מטורף, כי כולנו מגיעים אינסטינקטיבית עבור המחשבון או המחשב ולהתחיל לקחת שורשים מרובעים.

אנחנו לא צריכים, אבל זה דורש קצת עקיפה. בואו נשתמש בנוסחה של הרון, התקשר לאזור # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # איפה # s = (+ b + c) / 2 #

# (A + b + c) / 2) ((a + b + c) / a) (a + b + c) / b) + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (+ b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (+ b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) # #

זה כבר יותר טוב מהארון. אבל אנחנו ממשיכים. ללא שם: אני לדלג על כמה tedium.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) # #

זה סימטרי יפה, כפי שהיינו מצפים עבור נוסחה אזור. בואו נעשה את זה פחות סימטרי. כזכור

# 2 (c ^ 2 - a ^ 2 b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

הוספת, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

זוהי נוסחה עבור השטח המרובע של המשולש בהתחשב באורך הריבועים של הצדדים. כאשר אלה רציונליים, כך גם הראשונה.

בוא ננסה את זה. אנו חופשיים להקצות לצדדים את מה שאנו אוהבים; עבור חישוב יד הכי טוב שלה לעשות # c # הצד הגדול ביותר, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

עוד לפני חישוב זה יותר, אנחנו יכולים לראות שיש לנו חיובית # 16Q ^ 2 # כך משולש אמיתי עם אזור חיובי, כך חופפים חוגים.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

אם היינו מקבלים ערך שלילי, אזור דמיוני, זה לא משולש אמיתי, כל כך חופפים חופפים.