כיצד ניתן לפשט (sec ^ 4x-1) / (sec ^ 4x + sec ^ 2x)?

תשובה:

החל זהות פיתגורס כמה טכניקות factoring כדי לפשט את הביטוי # sin = 2x #.

הסבר:

להזכיר את זהות פיתגורס חשוב # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #. אנו נזדקק לה עבור בעיה זו.

נתחיל עם המונה:

# sec ^ 4x-1 #

שים לב כי ניתן לשכתב את זה כמו:

# (sec ^ 2x) ^ 2- (1) ^ 2 #

זה מתאים בצורה של הבדל של ריבועים, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #, עם # a = sec ^ 2x # ו # b = 1 #. זה גורם ל:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) # #

מן הזהות # 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #, אנחנו יכולים לראות את זה חיסור #1# משני הצדדים נותן לנו # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. לכן אנו יכולים להחליף # sec ^ 2x-1 # עם # tan ^ 2x #:

# (sec ^ 2x-1) (sec ^ 2x + 1) # #

# -> (tan ^ 2x) (sec ^ 2x + 1) # #

בואו נבדוק את המכנה:

# sec ^ 4x + sec ^ 2x #

אנחנו יכולים גורם # sec ^ 2x #:

# sec ^ 4x + sec ^ 2x #

# -> sec ^ 2x (sec ^ 2x + 1) # #

אין הרבה יותר שאנחנו יכולים לעשות כאן, אז בואו נסתכל על מה שיש לנו עכשיו:

# ((tan ^ 2x) (שניות + 2x + 1)) / ((sec ^ 2x) (sec ^ 2x + 1)) #

אנחנו יכולים לעשות כמה ביטול:

# ((tan ^ 2x) ביטול ((sec ^ 2x + 1))) / ((sec ^ 2x) ביטול ((sec ^ 2x + 1)) #

# -> tan ^ 2x / sec ^ 2x #

עכשיו אנחנו לשכתב את זה באמצעות רק sines ו cosines ו לפשט:

# tan ^ 2x / sec ^ 2x #

# -> (חטא ^ 2x / cos ^ 2x) / (1 / cos ^ 2x) #

# -> חטא ^ 2x / cos ^ 2x * cos ^ 2x #

# -> חטא ^ 2x / ביטול (cos ^ 2x) * ביטול (cos ^ 2x) = חטא ^ 2x #