תשובה:
ישנם שני ערכים אפשריים עבור הסכום, # a + b = 2 # (ל # a = 2 # ו # b = 0 #) או # a + b = -4 # (ל # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}) #
הסבר:
יש באמת שני ידועים, את הסכום ואת התוצר של # a # ו # b, # אז בואו #x = a + b # ו #y = ab #.
# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #
# x ^ 3 = (+ b) ^ 3 = a + 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #
שתי משוואות בשני אלמונים, # 2y = x ^ 2 -4 #
# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) # #
# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #
זה נקרא מעוקב מדוכא, ואלה יש פתרון די קל סגור טופס כמו הנוסחה ריבועית. אבל במקום לגעת זה, בואו רק לנחש שורש על ידי שיטה מכובד זמן של מנסה מספרים קטנים. אנחנו מבינים # x = 2 # עובד כך # (x-2) # הוא גורם.
# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #
עכשיו אנחנו יכולים עוד גורם
# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #
אז יש שני ערכים אפשריים עבור הסכום, # a + b = 2 # ו # a + b = -4. #
התשובה הראשונה תואמת את הפתרון האמיתי # a = 2, b = 0 # ועל ידי סימטריה # a = 0, b = 2 #. התשובה השנייה תואמת את הסכום של זוג מצומדות מורכבים. הם # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. האם אתה יכול לבדוק את הפתרון הזה?
תשובה:
# (a + b) = 2, או, + b = -4 #
הסבר:
# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #
# => (+ b) ^ 2-2ab = 4 #
# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #
# => ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #
עכשיו,
# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #
# => (+ b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #
# => (+ b) (4-ab) = 8 #
# + - (+ b) {4 - (a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #
# + - (a + b) ^ 2) / 2} = 8 #
תן,
# (a + b) = x #
לכן, # => x (6-x ^ 2/2) = 8 #
# => x (12-x ^ 2) = 16 #
# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #
שים לב לזה #2^3-12*2+16=8-24+16=0#
#:. (x-2) # הוא גורם.
עכשיו, # x ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x 16) #,
# x x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.
#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, או, x = -4 #.
#:. + b = 2, או, + b = -4 #.
גרף ניתן כאן.
הערך של #color (אדום) ((+ b) = 2, או, -4. #
מקווה שזה עוזר…
תודה…
