מתמטית לגזור את שורשי הצבע (לבן) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

מתמטית לגזור את שורשי הצבע (לבן) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?
Anonim

תשובה:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # ל #n = 0, 1, 2 #

הסבר:

בהתחשב you

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

תחליף טריגונומטרי

מאז זה מעוקב יש #3# אפסים אמיתיים, שיטתו של קרדנו תביא לביטויים הקשורים לשורש הקוביות הבלתי ניתנות לחיזוי של מספרים מורכבים. השיטה של Cardano אינה טועה, אבל זה לא מאוד ידידותי, אלא אם שורשי הקוביה יש צורה פשוטה.

כחלופה במקרים כאלה, הייתי בוחר להשתמש תחליף טריגונומטרי.

תן:

#x = k cos theta #

הטריק הוא לבחור # k # כך שהביטוי המתקבל מכיל # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

יש לנו:

# 0 = x ^ ^ 3-3x-1 #

#color (לבן) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3k cos theta - 1 #

#color (לבן) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 #

#color (לבן) (0) = 2 (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) - 1 "# # עם # k = 2 #

#color (לבן) (0) = 2cos 3theta - 1 #

לכן:

#cos 3 theta = 1/2 #

לכן:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # עבור מספר שלם # n #

לכן:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # עבור מספר שלם # n #

זה ייתן #3# ערכים אפשריים של #x = k cos theta #

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "# ל #n = 0, 1, 2 #.