מהי משוואה טופס סטנדרטי של פרבולה עם directrix של x = 5 ו להתמקד ב (11, -7)?

תשובה:

טופס סטנדרטי הוא:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

הסבר:

מכיוון שהדירקס הוא קו אנכי, #x = 5 #, את קודקוד טופס עבור המשוואה של פרבולה הוא:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

כאשר (h, k) הוא קודקוד ו #F הוא המרחק האופקי חתום מן קודקוד למוקד.

אנו יודעים שקואורדינטת y, k, של הקודקוד זהה לקואורדינטת y של המיקוד:

#k = -7 #

תחליף -7 עבור k לתוך משוואה 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

אנו יודעים כי x קואורדינטות של קודקוד הוא נקודת האמצע בין x קואורדינטות של המוקד ואת x קואורדינטות של directrix:

# h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

תחליף 8 למשוואה h לתוך 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

מרחק המוקד הוא המרחק האופקי החתום מקודקוד למוקד:

#f = x_ "focus" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

תחליף 3 עבור F למשוואה 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

נכפיל את המכנה ונכתוב - כ +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

הרחב את הריבוע:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

להפיץ את #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

שלב את התנאים הקבועים:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

תשובה:

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

הסבר:

Directrix # x = 5 #

פוקוס #(11, -7)#

מכאן נוכל למצוא את הקודקוד.

תסתכל על התרשים

ורטקס נמצאת בדיוק בין דיטריקס ופוקוס

#, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

המרחק בין המיקוד לקודקוד הוא # a = 3 #

הפרבולה נפתחת ימינה

המשוואה של פרבולה כאן היא -

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

# (h, k) # הוא קודקוד

# h = 8 #

# k = -7 #

חיבור # h = 8; k = -7 ו- = 3 # במשוואה

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # על ידי לשרבב

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #