כיצד אתם משלבים אינטקס dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 באמצעות החלפת טריג?

תשובה:

#int = dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

הסבר:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #

להשתמש # x = tan (a) #

# dx = sec ^ 2 (a) da #

# # intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / (1 + tan ^ 2a) ^ 2 #

השתמש בזהות # 1 + tan ^ 2 (a) = sec ^ 2 (a) #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / sec ^ 4 (a) #

# = int (da) / sec ^ 2 (a) #

# = int cos ^ 2 (a) da #

# = int ((1 + cos (2a)) / 2) #

# = (1/2) (int) da + int cos (2a) da #

# = (1/2) (a + חטא (2a) / 2) #

# (1/2) (a + (2sin (a) cos (a)) / 2) #

# = (1/2) (a + חטא (א). Cos (א)) #

אנחנו יודעים את זה # a tan = ^ -1 (x) #

#sin (a) = x / (sqrt (1 + x ^ 2) # #

#cos (a) = x / (sqrt (1 + x ^ 2 #

# x (2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1) (x) + חטא (חטא ^ -1 (x / (sqrt (1 + x ^ 2)) cos (cos ^ -1 (1 / (sqrt (1 + x ^ 2)))) #

# 1 (1/2) (tan ^ -1 (x) + (x / (sqrt (1 + x ^ 2)) 1 / sqrt (1 + x ^ 2)) #

# # (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

תשובה:

#int = dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1) # #

הסבר:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # ביצוע החלפה

#x = tan (y) # וכתוצאה מכך

#dx = dy / (cos (y) ^ 2) #

יש לנו

#) cint (y) ^ 4)) = int cos (y) ^ 2dy #

אבל

# d (dy) (y) c (y) cos (y) = cos (y) ^ 2-sin (y) ^ 2 = 2 cos (y) ^ 2-1 #

לאחר מכן

#int cos (y) ^ 2 dy = 1/2 (y + sin (y) cos (y)) #

לבסוף, נזכר #y = arctan (x) # יש לנו

#int = dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1) # #