המשולש A יש שטח של 9 ו שני צדדים של אורכים 6 ו - 9. המשולש B דומה למשולש A ויש לו צד באורך 12. מהם האזורים המקסימליים והמינימליים האפשריים של המשולש B?

תשובה:

Min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} בערך 5.922584784 … #

מקסימלי # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} בערך 85.39448839 … #

הסבר:

בהתחשב you

# אזור _ { triangleA} = 9 #

אורכי אורך של # triangleA # הם # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

אורכי אורך של # triangleB # הם # U, V, W #

#U = 12 #

# triangle A text {דומה} משולש B #

הראשון לפתור עבור # Z #:

פורמולה של הרון: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # איפה # S = frac {A + B + C} {2} #, תת באזור 9, ואורכי אורך 6 ו 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# = Sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

תן # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

להשתמש בנוסחה ריבועית

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # דחה את הפתרונות השליליים # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

לכן # Z about 3.895718613 # ו # 14.79267983 # בהתאמה

# בגלל משולש A טקסט {דומה} משולש B, שטח _ { משולש B} = k ^ 2 * שטח _ { triangleA} # # איפה # k # הוא גורם הגודל

# k = 12 / s # שבו מסודרים בסדר עולה: # 3 sqt {13 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

או בצורת עשרונית: #s ב- {3.895718613, 6, 9,14.79267983}

ככל שהערך גדול יותר # s #, קטן שטח קטן יותר את הערך של # s #, כך גדל השטח,

לכן, כדי למזער את אזור לבחור # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

ו למקסם את אזור לבחור # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

לכן, מינימום שטח # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} בערך 5.922584784 … #

ואת השטח המקסימלי # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} בערך 85.39448839 … #