סכום הסדרה 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... upto האינסוף שווה ל?

תשובה:

הסכום הוא # = 2ln2-1 #

הסבר:

המונח הכללי של הסדרה הוא # N (- 1) ^ (n + 1) / n (n + 1) # #

אנו מבצעים פירוק לחלקים חלקיים

# 1 / n (n + 1) = A / n + B / n (1) # #

# (A (n + 1) + bn) / n (n + 1) #

לכן, # 1 = A (n + 1) + Bn #

מתי # n = 0 #, #=>#, # 1 = A #

מתי # n = -1 #, #=>#, # 1 = -B #

לכן, # 1 / n (n + 1) = 1 / n-1 / (n + 1) # #

(N + 1) (n + 1) (n + 1) / n (n + 1) = (- 1) #

# (+) (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n) (n + 1) (n + n) +1) / (n + 1) #

#ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n #

# sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 #

# (+) (n + 1) / (n + 1) -sum_1 ^ oo (-1) ^ (n) x ^ (n + 1) / (n + 1) #

# n (+) = 1-ln (1 + x) # #

# (#) (+) (+ 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln2 #

# n + 1 (+ 1) (n + 1) / n (n + 1)) = ln2- (1-ln2) = 2ln2-1 #