הראה כי המשוואה x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 יש פתרון אחד בדיוק על [0, 1]?

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

קודם כל, בואו לחשב #f (x) = x ^ 4 + 2x ^ 2-2 # בגבול הדומיין שלנו:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

אם אנו מחשבים את הנגזרת

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

אנחנו יכולים לראות שזה תמיד חיובי #0,1#. למעשה, # x ^ 2 + 1 # הוא תמיד חיובי, ו # 4x # הוא חיובי בהחלט, שכן #איקס# הוא חיובי.

אז, הפונקציה שלנו מתחיל מתחת #איקס# ציר, מאז #f (0) <0 #, ומסתיים מעל #איקס# ציר, מאז #f (1)> 0 #. הפונקציה היא פולינום, ולכן היא רציפה.

אם קו רציף מתחיל מתחת לציר ומסתיים מעל, זה אומר שהוא חייב חצה אותו איפשהו בין לבין. והעובדה שהנגזרת תמיד חיובית פירושה שהפונקציה תמיד צומחת, ולכן היא לא יכולה לחצות את הציר פעמיים, ומכאן ההוכחה.