להוכיח (חטא x - csc x) ^ 2 = חטא ^ 2x + cot ^ 2x - 1. האם מישהו יכול לעזור לי על זה?

תשובה:

הצג # (sin x - csc x) ^ 2 ## = sin = 2 x + cot ^ 2 x - 1 #

הסבר:

# (sin x - csc x) ^ 2 #

# = (sin x - 1 / sin x) ^ 2 #

# = sin = 2 x - 2 sin x (1 / sinx) + 1 / sin = 2 x #

# = sin = 2 x - 2 + 1 / sin = 2 x #

# = sin = 2 x - 1 + (-1 + 1 / sin = 2 x) #

# = sin = 2 x + {1 - sin = 2 x} / {sin = 2 x} - 1 #

# = sin = 2 x + cos ^ 2 x / sin = 2 x - 1 #

# = sin = 2 x + cot ^ 2 x - 1 quad sqrt #

תשובה:

עיין בהוכחה שבהמשך

הסבר:

אנחנו צריכים

# cscx = 1 / sinx #

# חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

# 1 / sin = 2x = 1 + cot ^ 2x #

לכן, # LHS = (sinx-cscx) ^ 2 #

# = (sinx-1 / sinx) ^ 2 #

# = sin = 2x-2 + 1 / sin = 2x #

# = sin = 2x-2 + 1 + cot ^ 2x #

# = sin = 2x + cot ^ 2x-1 #

# = RHS #

# QED #

תשובה:

בחביבות למצוא הוכחה בתוך ה הסבר.

הסבר:

אנו נשתמש זהות: # cosec ^ 2x = cot ^ 2x + 1 #.

# (sinx-cosecx) ^ 2 #, # = sin = 2x-2sinx * cosecx + cosec ^ 2x #,

# = sin = 2x-2sinx * 1 / sinx + cot ^ 2x + 1 #, # = sin = 2x-2 + cot ^ 2x + 1 #, # = sin = 2x + cot ^ 2x-1 #, כרצוי!