מהי פונקציית גל ומה הדרישות עבורה להיות מנומסת, כלומר, כדי לייצג נכונה את המציאות הפיזית?

תשובה:

ה- wavefunction הוא פונקציה מוערכת מורכבת שבה משרעת (ערך מוחלט) נותן את התפלגות ההסתברות. עם זאת זה לא מתנהג באותו אופן כמו גל רגיל.

הסבר:

במכניקת הקוונטים, אנחנו מדברים על מצב של מערכת. אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר היא חלקיק שיכול להיות בסחרור למעלה או למטה, למשל אלקטרון. כאשר אנו מודדים את הספין של המערכת, אנחנו גם למדוד את זה כדי להיות למעלה או למטה. מצב שבו אנו בטוחים של התוצאה של המדידה, אנו קוראים eigenstate (מדינה אחת למעלה # uarr # ואחד למטה המדינה # darr #).

יש גם מדינות שבהן איננו בטוחים לגבי תוצאת המדידה לפני שנמדוד אותה. אלה מדינות שאנו מכנים סופרפוזיציה ואנחנו יכולים לכתוב אותם כמו # a * uarr + b * darr #. כאן יש לנו # | a | ^ 2 # ההסתברות למדידה # uarr #, ו # | b | ^ 2 # ההסתברות למדידה # darr #. זה אומר כמובן # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. אנו מרשים # a, b # כדי להיות מספרים מורכבים, הסיבה לכך אינה ברורה מיד מהדוגמה הזו, אבל בהקשר של wavefunction זה יהיה ברור יותר. השורה התחתונה היא כי יש יותר מדינות מאשר אחד נותן את ההסתברויות אותו למדידת ספינים.

עכשיו אנחנו יכולים לנסות להקצות פונקציה למצב זה ספין. מכיוון שיש רק שתי תוצאות של מדידת הספין, יש לנו פונקציה שיש לה רק שתי תשומות אפשריות. אם נקרא לפונקציה # psi # (זהו סמל קונבנציונאלי מאוד המשמש wavefuntion), קבענו #psi (uarr) = a # ו #psi (darr) = b #.

עכשיו אנחנו פונים אל wavefunction. היבט אחד של חלקיק הוא כמובן המיקום שלו. בדיוק כמו במקרה של ספין, אנחנו יכולים למדוד ערכים שונים עבור המיקום, ואנחנו יכולים להיות מדינות שבו התוצאה של המדידה לא קבוע מראש. מאז יש לנו כמות אינסופית לאין שיעור של מיקומים שבהם חלקיק יכול להיות, לכתוב את המצב הזה כמו # a * "here" + b * "there" # לא יעשה. עם זאת, הרעיון של הפונקציה שבה השתמשנו לעיל עושה. אז עבור כל מיקום #איקס#, יש לנו ערך מורכב #psi (x) #. פונקצית צפיפות ההסתברות של החלקיק ניתנת כעת על ידי # psi (x) | ^ 2 #.

בכל ההגינות, מבחינה היסטורית, הרעיון של פעולת הגלים מבוגר יותר מזה של הספין, אבל אני חושב שהבנת הרעיון של ספין במידה מסוימת מסייעת בהבנת פעולת הגלים.

עכשיו קודם כל, למה הוא מורכב wavefunction מוערך? הסיבה הראשונה ניתן למצוא ברעיון של הפרעה. את wavefunction של חלקיק יכול להפריע את עצמו. הפרעה זו קשורה להוספת wavefunctions, אם wavefunctions לתת את הערך המוחלט באותו בנקודה מסוימת, אז ההסתברות של מדידה של חלקיק סביב נקודה זו דומה. עם זאת את ערכי הפונקציה יכול להיות שונה, אם הם אותו, הוספת אותם יהפכו את משרעת, או הסתברות צפיפות 4 (#|2|^2#) פעמים גדולות יותר (הפרעה קונסטרוקטיבית), ואם הם שונים על ידי סימן הם שוללים זה את זה (הפרעה הרסנית). עם זאת יכול גם להיות שונה על ידי גורם למשל #אני#, כלומר צפיפות ההסתברות הופכת #2# גדול יותר בנקודה זו. אנו יודעים שכל ההפרעות הללו יכולות להתרחש. אז זה מצביע על wavefunction מוערך מורכב כפי שתואר קודם לכן.

הסיבה השנייה ניתן למצוא במשוואה Schrödinger. בתחילה היה נדמה כי גלי הגלים הללו התנהגו בדיוק כמו גלי קלאסי. עם זאת, כאשר שרדינגר ניסה לתאר את התנהגותם של גלים אלה, או לפחות את האבולוציה שלהם לאורך זמן, הוא מצא שהמשוואה המסדירה את הגלים הקלאסיים אינה מספקת. כדי שזה יעבוד, הוא היה צריך להכניס מספר מורכב למשוואה, ולהביא למסקנה שהפונקציה עצמה חייבת להיות מורכבת גם כן, וסדר הנגזרים המופיעים במשוואה שונה ממשוואת הגל הקלאסית.

הבדל זה במשוואות גם עונה על השאלה השנייה שלך. מאחר שהאבולוציה של פונקציית הגלים שונה בהרבה מזו של גלי קלאסי, איננו יכולים להשתמש באותן שיטות שבהן אנו משתמשים בפיסיקה קלאסית של גל. יש כמובן טיעונים גיאומטריים שאתה יכול להשתמש בהם, אבל זה לא יהיה מספיק כדי לתאר את כל תופעות הפיזיקה הקוונטית. חוץ מזה, למרות wavefunction נותן הרבה מידע על מצב של חלקיק, זה אומר לך שום דבר על הספין שלה, שכן ספין הנצפים והמיקום יש מעט לעשות עם כל אחד.

אולי אני מפרש את מה שאתה מתכוון בטבע גיאומטרי בטעות. אולי תוכל לתת דוגמה למה אתה מתכוון. אולי אז אוכל לעזור לך עוד יותר.

ה תפקוד גלים מייצג את המצב של מערכת מכנית קוונטית כגון אטום או מולקולה.

זה יכול להיות מיוצג גם # psi #, ה זמן עצמאי פונקציית גל, או # Psi #, ה תלוי זמן תפקוד גלים.

בגלל ה גל פונקציה כנראה מייצג מערכת מתנהג כמו גל (זה לא מקרי שזה נקרא גל פונקציה!), בדרך כלל היינו מצפים בלתי מוגבל גל פונקציה אין גבולות. חשבו על כך # sinx # ו # cosx #, שתי פונקציות הגלים בבירור, יש תחומים של # (- oo, oo) #.

דוגמה: פונקציית הגל עבור בתי החולים

עם זאת, בואו לקחת אורביטלים למשל. חייבת להיות קבוצה של תנאי גבולות עבור מסלול, כי ברור שהמסלולים אינם גדולים עד אין קץ.

פונקציית גל יכולה לתאר את צירוף ליניארי של אורביטלים אטומיים כדי ליצור אורביטלים מולקולריים:

#color (כחול) (psi _ ("MO") = sum_ (i) c_iphi_i ^ AO #

# # color (כחול) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +). # #

איפה # c_i # האם ה מקדם התרחבות המצביע על תרומתו של כל מסלול אטומי למסלול המולקולרי המסוים הנדון, ו # phi_i ^ "AO" # האם ה ניסוי / ניסוי גל פונקציה עבור כל מסלול אטומי.

מאז פונקציית גל חייב להיות מסוגל לייצג מסלולית, זה חייב להיות רדיוס חיובי (#r> 0 #) ואת הפונקציה גל חייב להיות יחיד - מוערך, סגור , רציף , אורתוגונלי לכל פונקציות הגל הקשורות, ו normalizable .

במילים אחרות, הוא חייב לעבור את הבדיקה קו אנכי, יש שטח סופי מתחת לעיקול, אין קפיצות / discontinuities / אסימפטוטים / הפסקות, ולספק את שתי המשוואות הבאות:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(אינטגרל של פונקציית גל ואת הצמיד המורכב שלה הוא #0# אם פונקציות הגל שונות)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(אינטגרל של פונקציית גל ואת הצמיד המורכב שלה מנורמל כך שהוא שווה #1# אם פונקציות הגל הן זהות, למעט סימן של # pmi #)

משוואת דוגמה אחת לפונקציית הגל בקואורדינטות כדוריות של אטום המימן היא:

#color (כחול) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# (= / color) (1 / (sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") (Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

לחשוב, אני באמת בילה זמן לנרמל את זה. אפילו לקחתי את הזמן לבדוק אורתוגונליות עם שני האחרים # 2p # פונקציות גל.: P

רק במקרה, הנה נספח של מה שיש לי קשור לעיל ב Scratchpads.

#' '#

נורמליזציה של

ה # 2p_z # תפקוד גלי האטום האטומי הוא:

#psi_ (2pz) #

# (R) (nl) (r) Y (l) ^ (m) (thta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# (1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

האם ה # 2p_z # תפקוד גלים באמת מנורמל? בוא נגלה!

(0) ^ ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (r) (n) (r) (n) theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) stackrel dphi (?) (=) 1) #

# (1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (o) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) stackrel dphi (?) (=) 1 #

# (0) (0) (0) ^ ^ (^) (-) (zr) / (a_0)) r = 4dr stackrel (= "2/3") (= 2) dbi)) stackrel (=) 1) # (1) # (1) # (1)

עכשיו, בודק רק את החלק הרדיאלי, המהווה את החלק המשוגע … תן את האינטגרציה של ארבעה מרובעים להתחיל!

הערכת הרכיב הקנדי של פונקציית הגל

חלק 1

# (0) ^ (o) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

תן:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# (- =) - (= a) / z () - (Zr) / (a_0)) r = 4 - int -

# (- =) - (Z_0) / (z) / (a_0)) r = 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr}

חלק 2

תן:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

#) - (a_0) / z ^ (- (Zr) / (a_0)) r = 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- ZR) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# (- = a) / z (e) (- ZR) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

חלק 3

תן:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) (a_0)) #

#du = 2rdr #

# (- = - - z (e) (- ZR) / (a_0)) r = 3 - 3 (- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr # #

# (- = a) / z (e) (- zr) / (a_0)) r + 3 + (3a_0) / Z (e) (- zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr #

חלק 4

תן:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) (a_0)) #

#du = dr #

# (- = a) / z (e) (- zr) / (a_0)) r + 3 + (3a_0) / Z () - (zr) / (a_0)) r - 2 - 2 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr / (Zr) / (a_0)) dr} # #

# (- = a) / z (e) (- zr) / (a_0)) r + 3 + (3a_0) / Z e ^ (- zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- zr) / (a_0)) r - int e ^ (- Zr) / (a_0))ד"ר}}#

הרחבה / הפשטה

# (- = a -) - (z) / (a_0)) r = 4 - 4 (a_0) / z) ^ 2 e ^ (- (Zr) (a_0)) r + 3 + (A3) / z () - (za) / z (/ z) / (Zr) / (a_0))} #

# (- = a -) - (zr) / (a_0)) r = 4 - (a_0) / Z) ^ (a_0) / z) ^ 3 (- (Zr / (a_0)) r (a_0) / z ^ (- Zr) / (a_0))} #

# (- = a -) - (zr) / (a_0)) r = 4 - (a_0) / Z) ^ (a_0) / Z) ^ 3 (^) - (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# (- =) - (z_0) (a_0) - r = 4 - (a_0) / Z) ^ 2 ^ ^ (- ZR) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / (a_0) / a) / (a_0) / (a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

הערכה- READY FORM

# (| a = / / z) ^ 2 r ^ 3 + 12 (a_0) / Z) ^ (= a) / 3 r + 2 (24) (a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | (0) ^ (oo) #

מחצית ראשונה מבטל להיות #0#:

(a_0) / z) ^ (^ / ^) / (^ / ^ ^ / (0) - (0) - (0) - (0) - (0) - a) / (0) ^ 3 + (0) ^ 2 + ((a_0) / a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

המחצית השנייה מפשטת להיות # 1 (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# (ביטול) (a_0) / z (0) ^ 4) ^ (0) + ביטול (4 ((a_0) / (0) +) ביטול (() () (a () a (/) (0) + 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

עכשיו, הבה נבחן מחדש את פונקציית הגל כמכלול …

#psi_ (2pz) #

# (1) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) # 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z)

# (ביטול) (ביטול) (ביטול) () ביטול () (ביטול) () ביטול () סטאקרל (?) (=) 1 #

#color (כחול) (1 = 1) #

כן! אחד עושה שווה שווה! אני מתכוון…

פונקציית הגל אכן מנורמל!: ד

הוכחת אורתוגונליות הדדית עבור פונקציות גל 2p

תן לנו לבחור את wavefunctions הבא:

# (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (0)

(#) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (0)

(#) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (0)

כדי להראות שהם אורתוגונליים, אנחנו צריכים להראות לפחות אחד מהם:

#int _ ("כל החלל") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

ומהאינדוקציה אנו יכולים לרמוז את השאר, שכן המרכיבים הרדיאליים זהים. במילים אחרות:

(r) (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (0) (0) ^ (2) Y_ (l) ^ (m) (phi) stackrel dphi (?) (=) 0 #

# (0) (0) ^ (^) (^) (0) (0) ^ ^ (^) (^ / (2) cackidphi stackrel (?) (=) 0) # #

החלק הרדיאלי מתברר # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. אז, תן לנו להעריך את מנות זוויתי.

ה # theta # קטע you

#color (ירוק) (int_ (0) ^ (pi) חטא ^ 2thetacosthetad theta) # #

תן:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | חטא ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * חטא ^ 3 (pi) - חטא ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = צבע (ירוק) (0) #

ועכשיו # phi # קטע you

#color (ירוק) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

תן:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = צבע (ירוק) (0) #

לכן, יש לנו הכולל:

# (0) (0) ^ (^) ^ ^ (- "ZR /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) חטא ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# (0) (0) (0) (0) (0) # (0) (0)

# = color (כחול) (0) #

מאז

#int _ ("כל החלל") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

ה # 2p_z # ו # 2p_x # אטומי אורביטלים הם אורתוגונליים.

באמת, ההבדל העיקרי באמצעות # 2p_y # משוואה היא שאתה מקבל:

# (c) (ירוק) ("קבועים") (0) ^ (^) (o) "אותו דבר" dr int_ (0) ^ (pi) sin 3 3thtad inta (0) ^ (2pi) stphicosphosphphi stackrel (?) 0) #

וכך:

#color (כחול) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin = 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin = 2 (2pi) - sin = 2 (0) = צבע (כחול) (0) #

מהכפלה #0# על ידי אינטגרלים אחרים, ולכן כל אינטגרל נעלם ו:

#int _ ("כל החלל") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

לפיכך, # 2p_x # ו # 2p_y # אטומי אורביטלים הם אורתוגונליים.

לבסוף, עבור # 2p_y # לעומת # 2p_z #:

# (c) (ירוק) ("קונסטנטים") (0) ^ (o) "אותו דבר" dr int_ (0) ^ (pi) sin = 2thetacosthetad stta int_ (0) ^ (2pi) stackidphi stackrel (?) 0) #

אנחנו יודעים את זה # theta # אינטגרל מלפני:

#color (כחול) (int_ (0) ^ (pi) חטא ^ 2thetacosthetad theta) # #

# = 1/3 * | חטא ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * חטא ^ 3 (pi) - חטא ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = צבע (כחול) (0) #

וכך כל האינטגרל נעלם שוב, ואכן # 2p_y # ו # 2p_z # אורביטלים הם אורתוגונליים גם כן!