הפונקציה 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 היא מקסימום, מינימום או נקודה של גוון?

תשובה:

• אין דקות או מקסימום
• נקודת השקפה ב #x = -2 / 3 #.

גרף {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

הסבר:

דקות ומקסס /

עבור נתון #איקס#- ערך (בואו נקרא לזה # c #) כדי להיות מקסימום או דקות עבור פונקציה מסוימת, זה צריך לספק את הדברים הבאים:

#f '(c) = 0 # או לא מוגדר.

ערכים אלה של # c # נקראים גם שלך נקודות קריטיות.

הערה: לא כל הנקודות הקריטיות הן מקסימום / דקות, אך כל הנקודות המקסימליות / דקות הן נקודות קריטיות

לכן, בואו למצוא אלה עבור הפונקציה שלך:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

זה לא גורם, אז בואו ננסה נוסחה ריבועית:

#x = (12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… ואנחנו יכולים לעצור שם. כפי שאתה יכול לראות, אנחנו בסופו של דבר שיש מספר שלילי מתחת לשורש הריבועי. לפיכך, יש אין נקודות קריטיות אמיתיות עבור פונקציה זו.

-

נקודות הטיה

עכשיו, בואו למצוא נקודות של גוון. אלה נקודות שבהן הגרף יש שינוי בקעירה (או עקמומיות). לנקודה מסוימת (התקשר אליה # c #) כדי להיות נקודת הטיה, הוא חייב לספק את הדברים הבאים:

#f '' (c) = 0 #.

הערה: לא כל הנקודות הללו הן נקודות של גוון, אבל כל נקודות הטיה חייב לספק את זה.

אז בואו למצוא את אלה:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

עכשיו, אנחנו צריכים לבדוק אם זה בעצם נקודת הטיה. לכן נצטרך לאמת את זה #f '' (x) # עושה למעשה לעבור #x = -2 / 3 #.

אז בואו לבדוק ערכים מימין ומשמאל #x = -2 / 3 #:

ימין:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

שמאלה:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

לא אכפת לנו מה הם הערכים האמיתיים, אבל כפי שניתן לראות בבירור, יש מספר חיובי לימין #x = -2 / 3 #, ומספר שלילי משמאל #x = -2 / 3 #. לפיכך, זוהי אכן נקודת הטיה.

לסכם, #f (x) # אין נקודות קריטיות (או דקות או מקסימום), אבל יש לו נקודה של הטיה ב #x = -2 / 3 #.

בואו נסתכל על הגרף של #f (x) # ולראות מה התוצאות האלה אומר:

גרף {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

גרף זה הולך וגדל בכל מקום, ולכן אין לו מקום שבו נגזר = 0. עם זאת, הוא הולך מן מעוקל למטה (קעורה למטה) כדי מעוקל (קעורה למעלה) ב #x = -2 / 3 #.

מקווה שזה עזר:)