מהו השורש הריבועי של 5?

השורש הריבועי של #5# לא יכול להיות אבא פשוט יותר ממה שהוא כבר, אז הנה הוא # sqrt5 # עד עשר ספרות אחרי הנקודה העשרונית:

# sqrt5 ~ ~ 2.2360679775 … #

תשובה:

# (1) = + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) ~ ~ ~ 2889/1292 ~ ~ 2.236068 # הוא מספר לא רציונלי.

הסבר:

כל מספרים חיוביים בדרך כלל יש שני שורשים מרובעים, חיובי אחד שלילי של אותו גודל. אנו מציינים את השורש הריבועי החיובי (a.k.a.) # n # על ידי #sqrt (n) #.

שורש ריבועי של מספר # n # הוא מספר #איקס# כך ש # x ^ 2 = n #. אז אם # x ^ 2 = n # אז גם # (- x) ^ 2 = n #.

עם זאת, השימוש העממי הוא כי "השורש הריבועי" מתייחס חיובית.

נניח שיש לנו מספר חיובי #איקס# אשר מספק:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

ואז הכפלת שני הצדדים על ידי # (2 + x) # אנחנו מקבלים:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

ואז מחסר # 2x # משני הצדדים אנו מקבלים:

# x ^ 2 = 5 #

אז מצאנו:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

# 4/1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) #

מאז זה המשך חלק אינו מסתיים, אנחנו יכולים לספר את זה #sqrt (5) # אינו יכול להיות מיוצג כשבר מסתיים - כלומר מספר רציונלי. לכן #sqrt (5) # הוא מספר לא רציונאלי קטן יותר #2 1/4 = 9/4#. עבור קירובים רציונלי טוב יותר אתה יכול לסיים את המשך החלק לאחר עוד מונחים.

לדוגמה:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

פריקת אלה שברים נמשכים יכול להיות קצת מייגע, אז אני בדרך כלל מעדיפים להשתמש בשיטה אחרת, כלומר היחס המגביל של רצף שלם מוגדר רקורסיבית.

הגדר רצף על ידי:

# (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

המונחים הראשונים הם:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

היחס בין התנאים יטה # 2 + sqrt (5) #.

כך אנו מוצאים:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #