מהי התקופה של f (t) = חטא (t / 36) + cos ((t) / 42)?

מהי התקופה של f (t) = חטא (t / 36) + cos ((t) / 42)?
Anonim

תשובה:

#T = 504pi #

הסבר:

קודם כל אנחנו, יודעים את זה #sin (x) # ו #cos (x) # יש תקופה של # 2pi #.

מכאן, אנו יכולים לנכות את זה #sin (x / k) # יש תקופה של # k * 2pi #: אתה יכול לחשוב כך # x / k # הוא משתנה פועל ב # 1 / k # את המהירות של #איקס#. כך, למשל, # x / 2 # רץ בחצי מהירות #איקס#, וזה יהיה צורך # 4pi # יש תקופה, במקום # 2pi #.

במקרה שלך, #sin (t / 36) # # תהיה תקופה של # 72pi #, ו #cos (t / 42) # תהיה תקופה של # 84pi #.

הפונקציה הגלובלית שלך היא סכום של שתי פונקציות תקופתיות. לפי הגדרה, #f (x) # היא תקופתית עם תקופה # T # אם # T # הוא המספר הקטן ביותר כזה

#f (x + T) = f (x) #

ובמקרה שלך, זה מתרגם

# tin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = חטא (t / 36) + cos (t / 42) # #

מכאן, ניתן לראות כי התקופה של #f (x) # לא יכול להיות # 72pi # ולא # 84pi #, כי רק אחד משני התנאים יהפוך תורה שלמה, בעוד השני ייקח ערך אחר. ומכיוון שאנחנו צריכים שניהם במונחים לעשות תורו שלם, אנחנו צריכים לקחת את המשותף לפחות נפוץ בין שתי תקופות:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

תשובה:

# 1512pi #.

הסבר:

P לפחות הפחות (אם בכלל) כזה f (t + P) = F (t) הוא הולם

קרא את התקופה של f (t). עבור P זה, f (t + nP) = f (t), n = + 1, + + -2, + -3, … #.

ל #sin t ו- cos t, P = 2pi # #

ל #sin kt ו- cos kt, P = 2 / kpi #

כאן, התקופה #sin (t / 36) # # הוא pi / 18 # ו, ל #cos (t / 42) #, זה # pi / 21 #.

עבור תנודה המורכבת נתון f (t), התקופה P צריכה להיות

כך שהיא גם התקופה של התנאים הנפרדים.

P זה ניתן על ידי # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). עבור M = 42 ו- N = 36, # P = 1512 pi #

עכשיו, לראות איך זה עובד.

#f (t + 1512pi) #

# = חטא (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = חטא (t / 36) + cos (t / 42) # #

# = f (t).

אם לחצות P ל 761 וזה מוזר. אז, P = 1512 הוא המעט האפשרי

אפילו מספר רב של #פאי#.