להוכיח את זה: (1-sin 4x-cos ^ 4x) / (1-sin 6x-cos ^ 6x) = 2/3?

# LHS = (1-sin = 4x-cos ^ 4x) / (1-sin ^ 6x-cos ^ 6x) #

# (1 - (חטא ^ 2x) ^ 3 + (cos ^ 2x) ^ 2)) / (1 -

# (1 - (+ 2x + cos ^ 2x ^ ^ ^ ^ ^ 2 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1 ^ 1) 2x + cos ^ 2x)) #

# 1 (חטא ^ 2x + cx ^ 2x) ^ 2 + 2sin ^ 2cos ^ 2x) / (1 (חטא ^ 2x + cx ^ 2x) ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x (חטא + 2x + cos ^ 2x)) #

# = (1-1 ^ 2 + 2sin ^ 2 cos ^ 2x) / (1-1 ^ 3 + 3sin ^ 2xcos ^ 2x) # #

# = (2sin ^ 2cos ^ 2x) / (3sin ^ 2xcos ^ 2x) = 2/3 = RHS #

הוכיח

בשלב 3 נעשה שימוש בנוסחאות הבאות

# a ^ 2 + b ^ 2 = (a + b) ^ 2-2ab #

ו

# a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) #

תשובה:

ראה הסבר. אישרתי כל צעד של הוכחה זו באמצעות www.WolframAlpha.com

הסבר:

הכפל את שני הצדדים על ידי # 3 (1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x)) #

# 3 xin ^ 4 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

תחליף # 3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2 "עבור" 3sin ^ 4 (x) #

# 3 (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 2-3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

הכפל את הריבוע:

# 3 (1 - 2cos ^ 2 (x) + cos ^ 4 (x)) - 3cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

הפץ את -3:

# 3 x 6cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

שלב כמו מונחים:

# 6cos ^ 2 (x) -6cos ^ 4 (x) = 2-2sin ^ 6 (x) -2 cos ^ 6 (x) #

מחלקים את שני הצדדים ב -2:

# 3 cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 1-sin ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

תחליף # - (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3 "עבור" -sin ^ 6 (x) # #

# 3 cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 1- (1 - cos ^ 2 (x)) ^ 3-cos ^ 6 (x) #

הרחב את הקוביה:

# 3 cos ^ 2 (x) 3 cos ^ 4 (x) = 1- (1 - 3cos ^ 2 (x) + 3cos ^ 4 (x) -cos ^ 6 (x)) - cos ^ 6 (x) #

לחלק את -1

# 3cos ^ 2 (x) 3 cos ^ 4 (x) = 1-1 + 3cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) + cos ^ 6 (x) -cos ^ 6 (x) #

שלב כמו מונחים:

# 3 cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) = 3cos ^ 2 (x) -3 cos ^ 4 (x) #

הימין זהה לשמאל. Q.E.D.