הכוח המופעל כנגד אובייקט הנע בצורה אופקית על נתיב ליניארי מתואר על ידי F (x) = x + 2-3x + 3. לפי כמה האנרגיה הקינטית של האובייקט משתנה כאשר האובייקט נע מ x ב [0, 1]?

תשובה:

חוק התנועה השני של ניוטון:

# F = m * a #

הגדרות של תאוצה ומהירות:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

אנרגיה קינטית:

# K = m * u ^ 2/2 #

תשובה היא:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

הסבר:

חוק התנועה השני של ניוטון:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

תחליף # a = (du) / dt # לא עוזר עם המשוואה, מאז # F # אינו נתון כפונקציה של # t # אלא כפונקציה של #איקס# למרות זאת:

(dx) / dt = (dx) / dt = (dx) / dx = (dx) / dt * (d) / dx #

אבל # (dx) / dt = u # לכן:

# a (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

בהסתמך על המשוואה שיש לנו, יש לנו משוואה דיפרנציאלית:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

שתי מהירויות אינן ידועות אבל עמדות #איקס# ידועים. כמו כן, המסה היא קבועה:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

אבל # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

הערה: היחידות הן # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # רק אם המרחקים שניתנו # (x in 0,1) # הם מטרים.