איך אתה מוצא את עוצמת הקול של האזור מוקף על ידי עקומות y = x ^ 2 - 1 ו y = 0 סובב סביב השורה x = 5?

תשובה:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

הסבר:

כדי לחשב את הכרך הזה אנחנו במובן מסוים הולך לחתוך אותו (פרוסות דק עד אינסוף).

אנו מדמיינים את האזור, כדי לעזור לנו עם זה, צירפתי את הגרף שבו האזור הוא החלק מתחת לעיקול. אנו מציינים זאת # y = x ^ 2-1 # חוצה את הקו # x = 5 # איפה # y = 24 # ושהיא חוצה את הקו # y = 0 # איפה # x = 1 # גרף {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

כאשר חותכים את האזור בפרוסות אופקיות עם גובה # dy # (גובה קטן מאוד). אורך הפרוסות תלוי במידה רבה בקואורדינטת y. כדי לחשב את אורך זה אנחנו צריכים לדעת את המרחק מנקודה # (y, x) # על הקו # y = x ^ 2-1 # עד לנקודה (5, y). כמובן שזה כך # 5-x #, אבל אנחנו רוצים לדעת איך זה תלוי # y #. מאז # y = x ^ 2-1 #, אנחנו יודעים # x ^ 2 = y + 1 #, שכן יש לנו #x> 0 # עבור האזור שאנו מעוניינים בו, # x = sqrt (y + 1) #, ולכן זה תלוי המרחק # y #, אשר אנו מתכוונים כ #r (y) # ניתן ע"י #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

עכשיו אנחנו לסובב את האזור הזה מסביב # x = 5 #, זה אומר שכל פרוסה הופכת גליל עם גובה # dy # ורדיוס #r (y) #, ולכן כרך #pir (y) ^ 2dy #. כל מה שאנחנו צריכים לעשות עכשיו הוא להוסיף אלה כמויות קטנות עד אינסוף באמצעות אינטגרציה. אנו מציינים זאת # y # הולך מ #0# ל #24#.

# = = = = = Y = 0 = y = ^ = y = 1 piint_0 ^ (= y = 1) + y + 1) = = = yi = piint_0 ^ (Y + 1) + (y + 1) + y) dy = py 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.