תשובה:
ראה הסבר …
הסבר:
אם # p = q = r # לאחר מכן:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
אז כל אפסים יש להם במשותף.
שים לב כי תנאים אלה אינם נדרשים.
לדוגמה, אם # p = 0 #, #q! = 0 # ו #r! = 0 # לאחר מכן:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # יש שורש # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # יש שורשים # x = -r / q # ו # x = 0 #
אז שתי משוואות יש שורש במשותף, אבל #p! = q # ואנחנו לא דורשים # p + q + r = 0 #.
תשובה:
אנא ראה להלן.
הסבר:
כפי ש # px ^ 2 + qx + r = 0 # ו # qx ^ 2 + rx + p = 0 # יש שורש משותף, תן שורש זה להיות # אלפא #. לאחר מכן
# palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # ו # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
ולכן # p / r = 2) = אלפא / (qr-p ^ 2) = 1 / (p-q ^ 2) # #
ו # alpha = (qr-p ^ 2) / (p-q ^ 2) # ו # alpha ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
כלומר # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) # #
או # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
או # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2 p ^ 2qr = p = 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
או # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # וחלוקת על ידי # p #
או # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
כלומר # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
גם כך # p + q + r = 0 # או # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
שים לב כי # p / r = 2) = אלפא / (qr-p ^ 2) = 1 / (p-q ^ 2) # #
אלפא = 2 + אלפא + 1) (p ^ 2 + q ^ # = אלפא = 2) (pq-r ^ 2) = אלפא / (qr-p ^ 2) = 1 / 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
ואם # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, יש לנו # אלפא + 2 + אלפא + 1 = 0 # כלומר # p = q = r #
