גופה נמצאה בשעה 10 בבוקר במחסן שבו הטמפרטורה היתה 40 מעלות צלזיוס. הבוחן הרפואי מצא את הטמפרטורה של הגוף להיות 80 מעלות. מהו הזמן המשוער של המוות?

תשובה:

הזמן המשוער של המוות הוא #8:02:24# אני.

חשוב לציין כי זוהי טמפרטורת העור של הגוף. החוקר הרפואי ימדוד את הטמפרטורה הפנימית שתקטן הרבה יותר לאט.

הסבר:

חוק הקירור של ניוטון קובע ששיעור השינוי בטמפרטורה הוא פרופורציונלי להבדל לטמפרטורת הסביבה. כלומר

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

אם #T> T_0 # אז הגוף צריך להתקרר כך נגזרת צריך להיות שלילי, ולכן אנחנו מכניסים את המידתיות קבוע להגיע

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

הכפלת הסוגיה והעברת דברים בנוגע אלינו:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

כעת ניתן להשתמש בשיטת הגורם המשולב לפתרון רכיבי ODE.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

הכפל את שני הצדדים על ידי #I (x) # להשיג

# e (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

שימו לב כי באמצעות כלל המוצר אנו יכולים לשכתב את LHS, עוזב:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

שלב את שני הצדדים # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

מחולק ב # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

הטמפרטורה הממוצעת בגוף האדם היא # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

תן # t_f # להיות הזמן שבו הגוף נמצא.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -קט_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1.96 hr #

אז מהמוות, בהנחה שהגוף התחיל מיד להתקרר, זה לקח 1.96 שעות כדי להגיע ל -80 ° F בנקודה זו הוא נמצא.

# 1.96hr = 117.6min #

הזמן המשוער של המוות הוא #8:02:24# אני