מהו המדרון של הקו נורמלי לקו המשיק של f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) ב- x = (15pi) / 8?

תשובה:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

גרף אינטראקטיבי

הסבר:

הדבר הראשון שאנחנו צריכים לעשות הוא לחשב #f '(x) # ב #x = (15pi) / 8 #.

בואו נעשה את המונח הזה לפי מונח. בשביל ה # sec ^ 2 (x) # לטווח ארוך, שים לב שיש לנו שתי פונקציות מוטבעות זו בזו: # x ^ 2 #, ו #sec (x) #. לכן, נצטרך להשתמש כלל שרשרת כאן:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (כחול) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

עבור המונח השני, נצטרך להשתמש בכללי מוצר. לכן:

(x / pi / 4) + צבע (אדום) (d / dxcos (x-pi / 4 (x-pi / 4)))(איקס)#

#color (כחול) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

אתה עשוי לתהות מדוע לא השתמשנו כלל שרשרת עבור חלק זה, שכן יש לנו # (x - pi / 4) # בתוך הקוסינוס. התשובה היא שאנחנו עושים זאת במרומז, אבל התעלם ממנו. שימו לב איך נגזרת של # (x - pi / 4) # הוא פשוט 1? לפיכך, הכפלת כי על לא משנה שום דבר, אז אנחנו לא לכתוב את זה בחישובים.

עכשיו, שמנו הכל ביחד:

(x-pi / 4) + xsin (x-pi / x) (x-pi / 4) + xx (x-pi / 4) 4)) #

צפה בשילוט שלך.

עכשיו, אנחנו צריכים למצוא את השיפוע של הקו משיק ל #f (x) # ב #x = (15pi) / 8 #. כדי לעשות זאת, אנחנו פשוט תקע את הערך הזה לתוך #f '(x) #:

(15pi) / 8) - cos (15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin (= 15pi) / 8) = (2sec ^ 2) (15pi) / 8-pi / 4)) = צבע = (סגול) (~ ~ -6.79) #

עם זאת, מה שאנחנו רוצים הוא לא קו משיק F (x), אבל את הקו רגיל אליו. כדי לקבל את זה, אנחנו פשוט לוקחים את הגומלין השלילי של המדרון לעיל.

#m_ (נורמה) = -1 / -15.78 צבע (סגול) (~~ 0.015) #

עכשיו, אנחנו פשוט להתאים את הכל לתוך טופס מדרון נקודה:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

תסתכל על הגרף האינטראקטיבי הזה כדי לראות איך זה נראה!

מקווה שזה עזר:)