) ). בבקשה תעזור לי עם ההצהרה הראשונה?

כדי להבין הצהרות אלה, תחילה עלינו להבין את הסימון בשימוש.

• #A # - לכולם - סמל זה מרמז שמשהו נכון לגבי כל דוגמה בתוך קבוצה. לכן, כאשר אנו מוסיפים משתנה #איקס#, # AAx # פירושו כי הצהרה כלשהי חלה על כל ערך אפשרי או פריט שאנחנו יכולים להחליף עבור #איקס#.

• #P (x), Q (x) # - הצעה - אלה הן הנחות הגיוניות לגבי #איקס#, כלומר, הם מייצגים הצהרות על #איקס# אשר אמת או שקר עבור כל מסוים #איקס#.

• # # - ו - סמל זה מאפשר שילוב של מספר הצעות. התוצאה המשולבת נכונה כאשר שתי ההצעות לחזור אמת, שקר אחרת.

• # # - או - סמל זה גם מאפשר שילוב של מספר הצעות. התוצאה המשולבת היא שקרית כאשר שתי הטענות חוזרות כוזבות, ואמיתיות אחרת.

• # # - אם ורק אם - סמל זה גם מאפשר שילוב של מספר הצעות. התוצאה המשולבת נכונה כאשר שתי ההצעות מחזירות את אותו ערך האמת עבור כל #איקס#, וכן שקר אחרת.

עם זאת, אנו יכולים כעת לתרגם את הדוחות. ההצהרה הראשונה, ניסוח ישיר, נשמע כמו "עבור כל x, P של x ו- X של x אם ורק אם עבור כל x, P של x, ועבור כל x, Q של x".

כמה תוספות ושינויים קלים עושה את זה קצת יותר מובן.

"עבור כל x, P ו- Q נכונים עבור x אם ורק אם P הוא נכון עבור כל x ו- Q נכון עבור כל x."

ההצהרה הזאת היא טאוטולוגיה, כלומר, לא משנה מה אנחנו מחליפים ב P או Q. אנחנו יכולים להראות זאת על ידי הוכחת כי ההצעה לפני מרמז אחד אחריו, ולהיפך.

החל מהצהרה הקודמת, יש לנו את זה עבור כל #איקס#, #P (x) Q (x) # נכון. לפי ההגדרה שלנו לעיל, כלומר, עבור כל #איקס#, #P (x) # נכון ו #Q (x) # נכון. זה מרמז כי עבור כל #איקס#, #P (x) # הוא נכון עבור כל #איקס#, #Q (x) # היא אמת, שהיא ההצהרה המופיעה לאחר.

אם נתחיל מן ההצהרה המופיעה אחרי, אז אנחנו יודעים את זה עבור כל #איקס#, #P (x) # הוא נכון עבור כל #איקס#, #Q (x) # נכון. ואז לכל #איקס#, #P (x) # ו #Q (x) # הן אמת, משמעות לכל #איקס#, #P (x) Q (x) # נכון. זה מוכיח כי ההצהרה הראשונה היא תמיד נכונה.

ההצהרה השנייה היא שקרית. מבלי לעבור את התהליך המלא כאמור לעיל, אנו יכולים פשוט להראות כי שתי הטענות משני צדי לא תמיד יש את אותו ערך האמת. לדוגמה, נניח כי עבור כל חצי אפשרי #איקס#, #P (x) # נכון ו #Q (x) # הוא שקר, ועל החצי השני, #Q (x) # נכון ו #P (x) # הוא שקר.

במקרה זה, כמו לכל #איקס#, או #P (x) # או #Q (x) # נכון, את ההצעה #AAx (P (x) Q (x)) # הוא נכון (ראה תיאורים של לעיל). אבל, כי יש ערכים עבור #איקס# לאיזה #P (x) # הוא שקר, את ההצעה #AAxP (x) # הוא שקר. באופן דומה, #AAxQ (x) # הוא גם שקר, כלומר #AAxP (x) AAxQ (x) # הוא שקר.

כמו שתי ההנחות יש ערכי אמת שונים, ברור את האמת של אחד אינו מבטיח את האמת של האחר, וכך להצטרף אליהם עם התוצאות של הצעה חדשה אשר שקר.