כיצד ניתן להעריך cos (pi / 5) מבלי להשתמש במחשבון?

תשובה:

Cos#פאי# / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

הסבר:

אם # theta # = #פאי#/ 10, ולאחר מכן 5# theta # = #פאי#/2 #=># cos3# theta # חטא =# theta #. cos (#פאי# /2 - # אלפא #) = חטא# אלפא #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 חטא # theta #.

#=># 4 (1 - # חטא ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 חטא# theta #. #=># 4# חטא ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

חטא# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

עכשיו cos 2# theta # = cos #פאי#/5 = 1 - 2# חטא ^ 2 # # theta #, נותן את התוצאה.

תשובה:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

הסבר:

תן #a = cos (pi / 5) #, #b cos (2 * pi / 5) # #. לכן #cos (4 * pi / 5) = -a #. מתוך נוסחאות זווית כפולה:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

הפחתת, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # הוא לא אפס, שכן שני התנאים הם חיוביים, כך # a-b # חייב להיות #1/2#. לאחר מכן

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

ואת השורש החיובי היחיד הוא

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

ו # b = cos (2 * pi / 5) = a / 1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.