מהי הנגזרת של f (x) = x (sqrt (1 - x ^ 2))?

תשובה:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

הסבר:

אנו נחייב שימוש בשני כללים: כלל המוצר ורשת השרשרת. כלל המוצר קובע כי:

# (d (fg)) / dx # = # (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx #.

הכלל קובע כי:

# (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx #, איפה # u # היא פונקציה של #איקס# ו # y # היא פונקציה של # u #.

לכן, # (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' #

כדי למצוא את הנגזרת של #sqrt (1-x ^ 2) #, להשתמש כלל שרשרת, עם

#u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' #

# = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) # # = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

החלפת תוצאה זו למשוואה המקורית:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.