איך אתה משתמש בסדרה הבינומית להרחיב sqrt (z ^ 2-1)?

תשובה:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

הסבר:

הייתי ממש כמו בדיקה כפולה כי בתור סטודנט לפיזיקה אני רק לעתים נדירות מעבר # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # עבור x קטן אז אני קצת חלוד. הסדרה הבינומית היא מקרה מיוחד של משפט binomial אשר קובע כי

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) (n), (k)) x ^ k #

עם # (n), (k)) = n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

מה שיש לנו # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, זה לא הטופס הנכון. כדי לתקן את זה, זוכר את זה # i ^ 2 = -1 # אז יש לנו:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

זה עכשיו בצורה נכונה עם #x = -z ^ 2 #

לפיכך, ההתרחבות תהיה:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2) (-2 / 2)) / 2z ^ 4 - (1/2) (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #