איך אתה משתמש בסדרה הבינומית להרחיב sqrt (1 + x)?

תשובה:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = סכום (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # עם #x ב- CC #

השתמש הכללה של הנוסחה הבינומית למספרים מורכבים.

הסבר:

יש הכללה של הנוסחה הבינומית למספרים המורכבים.

נראה כי הנוסחה הכללית של הסדרה הבינומית # (1 + z) ^ r = sum (r) _k) / (k!) Z ^ k # עם # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (לפי ויקיפדיה). בואו להחיל אותו על הביטוי שלך.

זוהי סדרת כוח כל כך ברור, אם אנחנו רוצים יש סיכוי שזה לא לסטות אנחנו צריכים להגדיר #absx <1 # וככה אתה מרחיב #sqrt (1 + x) # # עם הסדרה הבינומית.

אני לא הולך להוכיח את הנוסחה נכון, אבל זה לא קשה מדי, אתה רק צריך לראות את הפונקציה המורכבת שהוגדרה על ידי # (1 + z) ^ r # הוא holomorphic על דיסק היחידה, לחשב כל נגזרת של זה ב 0, וזה ייתן לך את הנוסחה טיילור של הפונקציה, כלומר אתה יכול לפתח את זה כסדרה כוח על דיסק היחידה כי #absz <1 #, ומכאן התוצאה.