התרשים של פונקציה מעריכית עם בסיס> 1 צריך להצביע על "צמיחה". זה אומר שזה גדל על התחום כולו. ראה תרשים:
עבור פונקציה הולכת וגדלה כמו זו, את התנהגות סוף בצד ימין "סוף" הוא אינסופי. נכתב כמו:
משמעות הדבר היא כי כוחות גדולים של 5 ימשיכו לגדול גדול יותר לכיוון האינסוף. לדוגמה,
הקצה השמאלי של התרשים נראה כאילו הוא מונח על ציר ה- x, לא? אם לחשב כמה כוחות שליליים של 5, תראה שהם מקבלים קטן מאוד (אבל חיובי), מהר מאוד. לדוגמה:
מהי התנהגות הקצה של הפונקציה f (x) = 3x ^ 4 - x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x + 5?
התשובה היא: f rarr + oo כאשר xrarr + -oo. אם אנחנו עושים את שתי הגבולות עבור xrarr + -oo, התוצאות הן + oo, כי הכוח שמוביל הוא 3x ^ 4, 3 * (+ - oo) ^ 4 = + oo.
מהי התנהגות הקצה של הפונקציה f (x) = ln x?
F (x) = ln (x) => infty כמו x -> infty (ln (x) גדל ללא כבול כאשר x גדל ללא כבול) ו- f (x) = ln (x) -> - infty כ- x - > 0 ^ {+} (ln (x) צומח ללא כבול בכיוון השלילי כאשר x מתקרב לאפס מימין). כדי להוכיח את העובדה הראשונה, אתה בעצם צריך להראות כי הפונקציה הגוברת f (x) = ln (x) אין אסימפטוט אופקית כמו x -> infty. תן M> 0 להיות כל מספר חיובי נתון (לא משנה כמה גדול). אם x> e ^ {M}, אז f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M (מאחר ש f (x) = ln (x) הוא פונקציה גוברת). זה מוכיח כי כל קו אופקי y = M לא יכול להיות אסימפטוט אופקית של f (x) = ln (x) כמו x -> infty. העובדה ש- f (x) = ln (x) היא פונקציה הולכת וגדלה כעת
מהי התנהגות הקצה של הפונקציה f (x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x + 5?
ההתנהגות הסופית של פונקציה פולינומית נקבעת לפי התואר הגבוה ביותר, במקרה זה x ^ 3. מכאן (x) -> + + x - x +> oo ו- f (x) -> - x כמו x -> - oo. עבור ערכים גדולים של x, המונח של התואר הגבוה ביותר יהיה הרבה יותר גדול מאשר במונחים אחרים, אשר ניתן להתעלם באופן יעיל. מכיוון שהמקדם של x ^ 3 הוא חיובי והתואר שלו מוזר, ההתנהגות הסופית היא f (x) -> + + כאשר x -> + oo ו- f (x) -> - x - x -> oo.