מהי התנהגות הקצה של הפונקציה f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # כפי ש #x -> infty # (#ln (x) # גדל ללא כבול #איקס# גדל ללא כבול) #f (x) = ln (x) -> - infty # כפי ש #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # גדל ללא כבול בכיוון השלילי כמו #איקס# מתקרבת אפס מימין).

כדי להוכיח את העובדה הראשונה, אתה בעצם צריך להראות כי הפונקציה הגוברת #f (x) = ln (x) # אין אסימפטוט אופקית כמו #x -> infty #.

תן #M> 0 # להיות מספר חיובי כלשהו (לא משנה כמה גדול). אם #x> e ^ {M} #, לאחר מכן #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (מאז #f (x) = ln (x) # היא פונקציה גוברת). זה מוכיח כי כל קו אופקי # y = M # לא יכול להיות אסימפטוט אופקי של #f (x) = ln (x) # כפי ש #x -> infty #. העובדה ש #f (x) = ln (x) # היא פונקציה הגוברת עכשיו מרמז כי #f (x) = ln (x) -> infty # כפי ש # x-> infty #.

כדי להוכיח את העובדה השנייה, תן #M> 0 # להיות כל מספר חיובי נתון כך # -M <0 # הוא כל מספר שלילי נתון (לא משנה כמה רחוק מאפס). אם # 0 <x <e ^ {- M} #, לאחר מכן #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (מאז #f (x) = ln (x) # גדל). זה מוכיח את זה #f (x) = ln (x) # מתחת לכל שורה אופקית אם # 0 <x # הוא קרוב מספיק לאפס. זה אומר #f (x) = ln (x) -> - infty # כפי ש #x -> 0 ^ {+} #.